Desintegraciones son medibles medidas - cuando son continuas?

Question

_{Esta es una secuela de otra pregunta que me han pedido.}

La noción de desintegración es un refinamiento de la probabilidad condicional a los espacios que tienen más estructura que resumen la probabilidad de espacios; a veces esto se llama regular de la probabilidad condicional. Deje $Y$ $X$ ser dos buenos métrica espacios, vamos a $\mathbb P$ ser una medida de probabilidad en $Y$, y deje $\pi : Y \to X$ ser una función medible. Deje $\mathbb P_X(B) = \mathbb P(\pi^{-1} B)$ el valor del empuje hacia adelante la medida de $\mathbb P$$X$. La desintegración teorema dice que para $\mathbb P_X$-casi todos los $x \in X$, existe una buena medida $\mathbb P^x$ $Y$ tal que $\mathbb P$ "desintegra":$$\int_Y f(y) ~d\mathbb P(y) = \int_X \int_{\pi^{-1}(x)} f(y) ~d\mathbb P^x(y) d\mathbb P_X(x)$$ para cada medibles $f$$Y$.

Este es un hermoso teorema, pero no es lo suficiente fuerte para mis necesidades. Revisión de un conjunto de Borel $B \subseteq X$, y deje $p(x) = \mathbb P^x(B)$. Parte del teorema es que $p$ es una función medible de $x$. Supongamos que el mapa de $\pi : Y \to X$ es continua en lugar de simplemente medibles. Mi pregunta: ¿Qué es una condición suficiente para $p(x)$ ser continua?

Para mí, esta es una pregunta obvia, ya que si $x$ $x'$ son cerca de dos realizaciones de un random $x \in X$, entonces las medidas de $\mathbb P^x$ $\mathbb P^{x'}$ debe ser estrecha demasiado, al menos en muchas de las situaciones naturales. Sin embargo, en mi peinado a través de la literatura, no he sido capaz de encontrar una respuesta a esta pregunta. Mi conjetura es que la mayoría de las personas son de contenido para integrar más de $x$ cuando se utilice el teorema. Para mis propósitos, necesito algunas estimaciones que puedo obtener por la continuidad.

En este punto, me las he arreglado para probar y escribir una buena condición suficiente para el caso que me interesa (espacios de Banach), mediante un resumen Wiener espacio-tipo de construcción. Sin embargo, tengo la esperanza de que un experto puede, me hacia una buena referencia que hace esto en la mayor parte de la generalidad.

Answer 1

Probablemente no es general, como quieras, pero si no antes de pensar acerca de que puede ser un comienzo...

La proposición: Si $\pi:Y\to X$ es bijective función tal que $\pi^{-1}$ es continua entonces $\mathbb{P}^{x_n}\to\mathbb{P}^{x}$ (topología débil) cuando $x_n\to x$.

Prueba: se sigue de la Desintegración Teorema que para todos los $B\in\mathcal{B}(Y)$ hemos

$$ \begin{array}{rcl} \mathbb{P}(B)&=&\displaystyle\int_X\int_{\pi^{-1}(x)}\chi_B(y)\ d\mathbb{P}^x(y)\ d\mathbb{P}_X(x) &=&\displaystyle\int_X \mathbb{P}^x(B\cap\pi^{-1}(x)) \ d\mathbb{P}_X(x) \end{array} $$ Por otro lado, tenemos que $$ \mathbb{P}(B)=\displaystyle\int_X \chi_B(\pi^{-1}(x))\ d\mathbb{P}_X(x) =\displaystyle\int_X \chi_B(\pi^{-1}(x))\delta_{\pi^{-1}(x)}(\pi^{-1}(x)) \ d\mathbb{P}_X(x) $$ así $$ \displaystyle\int_X \mathbb{P}^x(B\cap\pi^{-1}(x)) \ d\mathbb{P}_X(x)=\mathbb{P}(B)=\displaystyle\int_X \delta_{\pi^{-1}(x)}(B\cap\pi^{-1}(x)) \ d\mathbb{P}_X(x) $$

Desde $\mathbb{P}^x$ es una medida de probabilidad y $B\cap\pi^{-1}(x)$ es un singleton o un conjunto vacío, tenemos $$ \delta_{\pi^{-1}(x)}(B\cap\pi^{-1}(x))\geq \mathbb{P}^x(B\cap\pi^{-1}(x)) $$ y de los anteriores integral de igualdad de casi seguramente tenemos $$ \delta_{\pi^{-1}(x)}(B\cap\pi^{-1}(x))=\mathbb{P}^x(B\cap\pi^{-1}(x)). $$ Fix $x$ y tome $B=\pi^{-1}(x)$, luego de la anterior igualdad, se deduce que $\mathbb{P}^x=\delta_{\pi^{-1}(x)}$.

Si $x_n\to x$ $p(x_n)=\mathbb{P}^{x_n}$ convergen a $p(x)$ en la topología débil. De hecho, por la continuidad de $\pi^{-1}$ tenemos que $\int f\ p(x_n) \to\int f\ p(x)$ para todos los delimitada uniforme de funciones continuas $f$.

Answer 2

Creo que usted necesita algunas hipótesis en la medida de ser empujado, al menos en el caso muy común donde $\pi$ es la proyección de un factor en un producto.

Tomar cualquier familia $\mathbb{P}^x$ de las medidas en un espacio de $X'$ donde $x$ ejecuta a través de $X$, y vamos a $Y=X'\times X$, $\pi$ ser la proyección en $X$, e $\mathbb{P}=\int_X \mathbb{P}^x dx$ donde $dx$ es cualquier medida en $X$. A continuación, $\pi$ es muy regular (suave si $X'$ $X$ son suaves colectores por ejemplo), pero sin embargo, cualquier tipo de falta de regularidad pueden aparecer en $\mathbb{P}^x$ (que, por construcción, la desintegración de las medidas, puesto que son únicos hasta un insignificante conjunto).

Supongo que en este entorno, asumiendo $\mathbb{P}$ a ser absolutamente continua con el continuo de la densidad sería suficiente.

Edit: Mi conjetura parece mal, como se muestra por la restricción de la medida de Lebesgue a de L o en forma de polígono. Usted probablemente necesitará fuertes restricciones en $\mathbb{P}$.

Answer 3

Tue Tjur estudiado la existencia de continuo desintegraciones en una 1975 preprint "Una Definición Constructiva de Distribuciones Condicionales", Número 13, de Copenhague Universitet. Él da las condiciones necesarias y suficientes de su existencia, al menos en el establecimiento de medidas de Radón.

También, se analizan estructura suficiente, y no se considera una probabilidad de base espacio que es un subconjunto abierto de un finito-dimensional en el espacio Euclidiano y el problema de acondicionamiento de una variable aleatoria toma valores en un abrir subconjuntos de un espacio Euclídeo $\mathbb R^k$ de manera tal que, cuando la variable aleatoria es considerado como un (medible) de la función, es surjective y continuamente diferenciable con diferencial de máximo rango. Este particular caso especial puede ser demasiado estrecha para usted, pero tal vez el caso general puede dar alguna orientación.

El artículo es un poco difícil de localizar, así, hágamelo saber si usted necesita ayuda para encontrar. La existencia continua de desintegraciones surge también en el estudio de la computabilidad de la probabilidad condicional, que es de mi interés.