Ejemplo de una función continua con una inversa discontinua

Question

¿Cuál es un ejemplo de función $f: \Bbb R^n \rightarrow \Bbb R^m$ tal que $f$ es continua e inyectiva pero que $f^{-1}$ no es continua.

Nuestro profesor nos tomó el pelo con esa idea, pero no he sido capaz de pensar en esa función.

Answer 1

Toma $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ para ser una función que realiza una figura en forma de ocho de la manera descrita aquí (como $x \rightarrow -\infty$ tiende al origen, y también como $x \rightarrow \infty$ ).

Por razones topológicas, la inversa no puede ser continua.

Tenga en cuenta que si $n=m$ entonces la inversa debe ser continua, y esto es un resultado de la Teorema de la invariabilidad del dominio . (Si $n=m=1$ (una prueba directa a través de métodos de análisis real se puede lograr fácilmente)

Answer 2

El ejemplo estándar (aunque no de $\mathbb R^n$ sino un subconjunto)

$f:[0,2\pi) \to S^1$ , $f(x) = (\cos(x),\sin(x))$

$f^{-1}$ no es continua en $(1,0)$ .