Seguramente estás Bromeando, Señor Feynman! $\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2(1+x^2)}\,dx$

Question

Probar el siguiente \begin{equation}\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2(1+x^2)}\,dx=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4e^2}\end{equation}

Me encantaría ver cómo las Matemáticas SE a los usuarios probar que la integral de preferencia con el camino de Feynman (otros métodos son bienvenidos). Gracias. (>‿◠)✌

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Pregunta Original:

Y, por supuesto, para el sádico con un fondo en el diferencial ecuaciones, los invito a probar suerte con el último integrante de la grupo.

\begin{ecuación}\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2(1+x^2)}\,dx\end{ecuación}

Fuente: De La Integración: El Camino De Feynman

Answer 1

Aquí va mi intento: \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2(1+x^2)}dx&=\int_0^\infty\left[\frac{\sin^2x}{x^2}-\frac{\sin^2x}{1+x^2}\right]dx\\ &=\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx-\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{1-\cos2x}{1+x^2}dx\\ &=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx+\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{\cos2x}{1+x^2}dx\\ &=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\frac{\pi}{2e^2}\\ &=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4e^2} \end{align} donde puedo usar estos enlaces: $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx$ y $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cos2x}{1+x^2}dx$ para que me ayude.

Por desgracia, este no es el camino de Feynman, pero todavía me encanta este método.

Answer 2

Considere la posibilidad de $$ I(a)=\int_0^\infty\frac{\sin^2(ax)}{x^2(x^2+1)}dx $$ Se diferencian dos veces. Desde $$ \int_0^\infty\frac{\cos(kx)}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{2^k} $$ por $k>0$ obtenemos $I"(a)=\pi e^{-2}$. Tenga en cuenta que $I'(0)=I(0)=0$, por lo que después de la resolución respectiva IVP tenemos $$ I(a)=\frac{\pi}{4}(-1+2a+e^{-2a}) $$ Ahora sólo queda sustituir $a=1$.

Answer 3

Esta integral es fácilmente evaluados utilizando el teorema de Parseval para las transformadas de Fourier. (Estoy seguro de que Feynman tenía este teorema en su cinturón de herramientas.) Recordemos que, para transformar pares $f(x)$ y $F(k)$ y $g(x)$ y $G(k)$, el teorema establece que

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) g^*(x) = \frac1{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, F(k) G^*(k) $$

En este caso, $f(x) = \frac{\sin^2{x}}{x^2}$ y $g(x) = 1/(1+x^2)$. Entonces $F(k) = \pi (1-|k|/2) \theta(2-|k|)$ y $G(k) = \pi \, e^{-|k|}$. ($\theta$ es la función de Heaviside, $1$ cuando su argumento es positivo, $0$ cuando es negativo.) El uso de la simetría de el integrando se puede concluir que la

$$\begin{align}\int_0^{\infty} dx \frac{\sin^2{x}}{x^2 (1+x^2)} &= \frac{\pi}{2} \int_0^{2} dk \, \left ( 1-\frac{k}{2} \right ) e^{-k} \\ &= \frac{\pi}{2} \left (1-\frac1{e^2} \right ) - \frac{\pi}{4} \int_0^{2} dk \, k \, e^{-k} \\ &= \frac{\pi}{2} \left (1-\frac1{e^2} \right ) + \frac{\pi}{2 e^2} - \frac{\pi}{4} \left (1-\frac1{e^2} \right )\\ &= \frac{\pi}{4} \left (1+\frac1{e^2} \right )\end{align} $$