Cómo probar esto $x_{1}+2x_{2}+\cdots+1990x_{1990}\neq 0$

Question

Pregunta:

deje $x_{i}=1$ o $-1$,$i=1,2,\cdots,1990$, mostrar que $$x_{1}+2x_{2}+\cdots+1990x_{1990}\neq 0$$

este problema parece que es fácil,Pero creo que no es fácil.

Creo nota $$1+2+3+\cdots+1990\equiv \pmod { 1990}?$$

Answer 1

supongamos que todas las $x_i$$1$, luego tenemos a $$1+2+3+\cdots+1990 = \frac{1991\times 1990}{2}$$ es impar.

Cada vez que se cambie uno de $x_i$$1$$-1$, el cambio de la suma por un número par, por lo que la suma es siempre impar

Answer 2

Considere la ecuación módulo 2. Independientemente de si $x_i = 1,or -1$, $x_i\equiv 1\pmod{2}$.

Por lo tanto $\sum_{i=1}^{1990}{ix_i}\equiv 1+0+1+\cdots +0\pmod{2}$, donde hay $\dfrac{1990}{2}=995$ $1$'s en la suma.

Llegamos a la conclusión de que $\sum_{i=1}^{1990}{ix_i}\equiv 1\pmod{2}$, por lo que definitivamente no puede ser igual a $0$.

Answer 3

Usted está resumiendo $\frac{1990\times 1991}{2}=1981045$ números de cada uno de los cuales es impar. El resultado debe ser impar y en particular no puede ser $0$.