Dejemos que $C\subset [0,1]$ sea el conjunto habitual de Cantor. Es $[0,a]\cap C$ tanto abierto como cerrado en la topología relativa de $C$ , siempre que $a>0$ ? Por supuesto que está cerrado, así que la pregunta es sobre estar abierto.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $a\in C$ no es un punto final izquierdo de uno de los intervalos abiertos que se eliminaron en la construcción de $C$ entonces $[0,a]\cap C$ no está abierto en $C$ . Una forma de ver esto es dejar que $$a=\sum_{i\ge 1}\frac{a_i}{3^i}\,,$$ donde cada $a_i$ es $0$ o $2$ . Desde $a$ no es un extremo izquierdo de los intervalos eliminados, para cada entero positivo $n$ hay $i>n$ tal que $a_i=0$ . Por lo tanto, existe una secuencia estrictamente creciente $\langle n_k:k\in\mathbb{N}\rangle$ de números enteros positivos tales que $a_{n_k}=0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ . Para $k\in\mathbb{N}$ dejar $$b_k=\sum_{k=1}^{n_k-1}\frac{a_i}{3^i}+\frac2{3^{n_k}}\,;$$ claramente $b_k\in C$ y
$$\begin{align*}a&=\sum_{i=1}^{n_k-1}\frac{a_i}{3^i}+\frac0{3^{n_k}}+\sum_{i>n_k}\frac{a_i}{3^i}\\ &<\sum_{i=1}^{n_k-1}\frac{a_i}{3^i}+\frac1{3^{n_k}}\\\\\\ &<b_k\\\\ &<\sum_{i=1}^{n_k-1}\frac{a_i}{3^i}+\frac3{3^{n_k}}\\ &=\sum_{i=1}^{n_k-1}\frac{a_i}{3^i}+\frac1{3^{n_k-1}}\;, \end{align*}$$
es decir, $b_k\in\left(a,a+\dfrac1{3^{n_k-1}}\right)$ . De ello se desprende que $\langle b_k:k\in\mathbb{N}\rangle$ es una secuencia en $C\setminus[0,a]$ convergiendo a $a$ y por lo tanto que $[0,a]\cap C$ no está abierto en $C$ .
Si $a$ es uno de los tantos extremos izquierdos de los intervalos eliminados, o si $a\in[0,1]\setminus C$ entonces $[0,a]\cap C$ está abierto en $C$ . Esto está claro si $a\in[0,1]\setminus C$ como en ese caso $[0,a]\cap C=[0,a)\cap C$ . El caso en el que $a$ es un punto final izquierdo de algún intervalo abierto eliminado $J$ es casi tan fácil: basta con tomar $b$ para ser cualquier punto de $J$ y $[0,a]\cap C=[0,b)\cap C$ .
