Cómo demostrar que $53^{103}+ 103^{53}$ es divisible por 39?

Question

Este es un problema de mi libro de texto de teoría de números. Se basa en la aritmética modular, pero no sé cómo empezar a demostrarlo. Por favor, dame algunas pistas sobre cómo resolverlo.

Answer 1

Como $39=13\cdot3$

Para los enteros no negativos $m,n$

$\displaystyle53\equiv1\pmod{13}\implies53^n\equiv1$ y $\displaystyle103\equiv-1\pmod{13}\implies103^{53}\equiv(-1)^{53}$

$\displaystyle\implies53^{103}+103^{53}\equiv1+(-1)\pmod{13}$

y $\displaystyle53\equiv-1\pmod3\implies53^{103}\equiv(-1)^{103}$ y $\displaystyle103\equiv1\pmod3\implies103^m\equiv1$

$\displaystyle\implies53^{103}+103^{53}\equiv-1+(1)\pmod3$

Answer 2

$$53\equiv14\pmod{39},103\equiv-14\pmod{53}$$

$$53^{103}+103^{53}\equiv14^{103}+(-14)^{53}\pmod{39}\equiv14^{53}[(14)^{50}-1]$$

Ahora $\displaystyle14^1\equiv1\pmod{13},14^1\equiv-1\pmod3\implies14^2\equiv(-1)^2\equiv1$

$\displaystyle\implies14^{\text{lcm}(1,2)}\equiv1\pmod{3\cdot13}$

o directamente por observación, $\displaystyle14^2=196\equiv1\pmod{195}\equiv1\pmod{39}$

$\implies14^{2n}\equiv1$ para un número entero no negativo $n$

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Generalización :

Necesitamos $\displaystyle a\equiv1\pmod3,\equiv-1\pmod {13}$ y $\displaystyle b\equiv-1\pmod3,\equiv1\pmod {13}$ donde $a,b$ son enteros Impares

Así que, $\displaystyle a=3A+1=13B-1$ para algunos enteros $A,B$

$\iff\displaystyle3A=13B-2=13B-(2\cdot13-3\cdot8)\iff3(A-8)=13(B-2)$

$\displaystyle\implies\frac{3(A-8)}{13}=B-2$ que es un número entero

$\displaystyle\implies13|3(A-8)\iff13|(A-8)$ como $(13,3)=1$

$\displaystyle\implies A=8+13C\implies a=3(8+13C)+1=39(C+1)-14\equiv-14\pmod{39}$

Del mismo modo, podemos derivar $\displaystyle b\equiv14\pmod{39}$

Pero con una condición, $a,b$ deben ser enteros Impares

Podemos generalizar esto a dos enteros primos relativos de impar

Answer 3

${\rm mod}\ \ \ 3\!:\ n = 53^{\large j}\! + 103^{\large k}\equiv (\color{#0a0}{-1})^{\large j}\ \ +\,\ \ \color{#c00}1^{\large k} \equiv\, \color{#0a0}{-1}\color{#c00}{+1}\equiv 0,\ $ suponiendo que $\,j\,$ es impar.

${\rm mod}\ 13\!:\ n = 53^{\large j}\! + 103^{\large k}\equiv \ \ \ \ \color{#c00}1^{\large j}\, +\,(\color{#0a0}{-1})^{\large k} \equiv\, \color{#c00}{{+}1}\color{#0a0}{-1}\equiv 0,\ $ suponiendo que $\,k\,$ es impar.

Así que $\ 3,13\mid n\,\Rightarrow\, 39\mid n\ $ por $\ {\rm lcm}(3,13) = 3\cdot 13\ $ (o por CCRT ) $\ $ QED

Nota: $\ $ Lo anterior es innato $\rm\color{#c00}{sym}\color{#0a0}{metry}$ anterior puede ser llevado a la palestra como en esta respuesta, es decir

$$\{a,b\} \equiv \{\color{#c00}{+c},\,\color{#0a0}{-c}\,\}\,\ {\rm mod}\,\ m\,\&\,n\ \Rightarrow\ {\rm lcm}(m,n)\mid a\!+\!b\qquad\qquad$$

La aritmética de la congruencia anterior emplea la Suma de congruencias y reglas de poder.