¿Qué tan precisas son la mayoría de las representaciones de la pi?

Question

Entiendo que la pi es la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro y es igual a 3.14159265359(Según Google), pero ¿qué tan exacta es esta y la mayoría de las representaciones de la pi?

Answer 1

Ya un poco mejor aproximación es $\pi\approx3.141592653589793$, el error en la aproximación a $3.14159265359$ es claramente muy pequeño:

$$3.14159265359-3.141592653589793=0.000000000000207=2.07\times 10^{-13}\;,$$

y ya en el hecho de $\pi>3.141592653589793$, el error real es menor que este. En resumen, es una muy buena aproximación.

Answer 2

Como te han dicho todavia, no hay representación decimal será exacta, pero sí podemos saber de su error. Si ampliamos esas representaciones a cualquier representación, vamos a tener un perfecto acuracy, pero no va a ser un valor numérico. Por ejemplo, puede representar, por medio de palabras, tal y como lo dijo, por la ración de diámetro/circunference, y eso es exacto. Acerca de los más mathematicals representaciones, hay un montón de ellos, en forma de serie infinita, como la realizada por Ramanujan, que converge al valor real muy rápido:

$$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4396^{4k}}$$

Otra exacto, por Leibniz:

$$\pi=4\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}$$

Varios valores de la función zeta, especialmente con números enteros, han $\pi$ como el resultado (con un factor), como $\zeta(2)$ o $\zeta(4)$, la cual puede ser calculada mediante una serie de Fourier.

Y mucho más, más info aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Pi

Answer 3

Si usted escribe $3.14159$, y los dígitos son correctos, entonces el número de dígitos que indica cuán precisa es. Ya lo escribí da cinco dígitos después del punto decimal, si asumimos que el último dígito es redondeado, entonces el error no es mayor que $0.00001/2$, por lo que la exactitud es.

Pero me pregunto cuál era la intención de esta pregunta. Podría ser que algo de incertidumbre en estos dígitos se sospecha?

Posteriormente edita: Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80 y http://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80

Answer 4

Recordemos que $\pi$ no es racional, es decir, cualquier representación decimal de $\pi$ no pueden ser exactas. Sin embargo, se puede estimar la cantidad máxima de error que se produce.

Una versión de $\pi$ que es exacta a $n$ dígitos después del decimal tiene un error máximo de $10^{-n}$.

Por ejemplo, $3.14$ es exacta a $2$ dígitos después del decimal. El error máximo es, por tanto, $\dfrac{1}{100}$ o $0.01$.

Usted puede ver por qué esto es initutively, considere lo siguiente:

$$ \pi = 3.14??????????? \cdots$$

Donde $?$ representa cualquier lugar decimal. Por lo tanto, el error es:

$$ \pi - 3.14 = 0.00??????????? \cdots $$

Obviamente, no importa lo que el valor de $?$, tenemos:

$$ \pi - 3.14 \le 10^{-2} $$

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Vamos a ver el ejemplo, tenemos $\pi \approx 3.14159265359$. No puedo hablar por el hecho de si el último dígito es redondeado, así que voy a ignorar eso. Tenemos: $\pi \approx 3.1415926535$. El error máximo es de $10^{-10}$. Este es un error máximo de $0.00000000001$. Para cualquier aplicación en la práctica, usted tiene más que suficiente precisión.

Answer 5

Según mi memoria, que el "9" es en realidad "8979323...", así que es bastante buena.