Cómo "hacer una" fórmula de una suma: $S=2+7+12+\cdots+(5n-3)$?

Question

Me pidieron la siguiente:

Determine una fórmula para la suma siguiente con $n\in\mathbb N$:

$$S=2+7+12+\cdots+(5n-3)$$

Yo no tenía ni idea de qué hacer al respecto. Acabo de escribir, por el simple hecho de hacer algo, los siguientes:

$$\sum_{i=0}^n(5i-3) = \left(\sum_{i=0}^n(5i) - 3n\right)$$

Curiosamente, tengo un par de puntos para que. Pero, finalmente, hay una anotación por el profesor:

Y?

Así que al parecer estaba en el camino correcto. ¿Qué se supone que debo hacer después? Cómo se puede hacer una" fórmula de una determinada suma?

Answer 1

Así que usted tiene $$ S = 2 + 7 + 12 + \dots + (5n - 3) = \sum_{i=1}^n (5i-3) = \left(5\sum_{i=1}^{n}\right) - 3n. $$ Así que todo lo que usted necesita saber es que $$ \sum_{i=1}^{n} = \frac{n(n-1)}{2}. $$

Answer 2

Sugerencia: usted está casi listo, usted necesita tomar la $5$ de la suma de (algo parecido a $5x+5y=5(x+y)$) y se debe recordar cómo la suma de $1+\cdots+n$

Answer 3

Sospecho que su profesor quería una forma cerrada para esta suma (es decir, una fórmula en términos de$n$). Además, usted puede simplificar la fórmula para $$ 5\left(\sum_{i=1}^n i \right) - 3n = 5 \frac{n(n-1)}{2} - 3n = \frac{5}{2}n^2 - \frac{11}{2}n. $$ (Tenga en cuenta también su suma debe comenzar a $i = 1$, no $i = 0$.)

Answer 4

$$S_n=2 + 7 + 12 + \dots + (5n - 3)$$ is sum of first n terms of arithmetic progression with first term $a_1=2$ and difference $d=5$. A partir de la fórmula $$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(4+5n-5)=\frac{n}{2}(5n-1)$$