Me centraré en la teoría de la representación de los objetos implicados, que es un lugar donde la cita mencionada es más o menos lo que ocurre.
Así que vamos a empezar con un grupo algebraico $G$ en $\mathbb{C}$ . Nos gustaría saber algo sobre las representaciones de este grupo (por representación me refiero a la representación racional).
Supongamos también que se nos da muy bien todo esto de las representaciones de las álgebras de Lie, así que si pudiéramos obtener de alguna manera un álgebra de Lie de nuestro grupo algebraico, estaría bien. Si esta álgebra de Lie puede decirnos de alguna manera algo sobre las representaciones del grupo algebraico, entonces eso será aún mejor.
Afortunadamente, esto es exactamente lo que podemos hacer. Asociado a $G$ es un álgebra de Lie $\operatorname{Lie}(G)$ y las representaciones de esta álgebra de Lie corresponden directamente a las de $G$ (Lo precisaré un poco más adelante).
Antes de entrar en más detalles sobre esta álgebra de Lie y cómo se relacionan las representaciones entre sí, me gustaría dar un breve rodeo por un caso más general, a saber, aquel en el que trabajamos sobre un campo algebraicamente cerrado cuya característica no necesita ser $0$ (para hacer esto correctamente, uno debería tener entonces $G$ ser un esquema de grupo, pero no voy a entrar en eso aquí).
Cuando la característica no es $0$ seguimos obteniendo un álgebra de Lie, pero esta álgebra de Lie es "demasiado pequeña" para capturar las representaciones del grupo (en cambio, es un álgebra de Lie restringida, y sus representaciones restringidas corresponden a las representaciones del primer núcleo de Frobenius de $G$ . Ignore la frase anterior si no está familiarizado con los esquemas).
Entonces, ¿hay algo que podamos hacer que funcione en todas las características?
La respuesta es sí, y se llama álgebra de distribuciones en $G$ (o a veces la hiperálgebra de $G$ ). No voy a entrar en cómo se construye esto aquí, pero sólo hay que tener en cuenta que, independientemente de la característica, tenemos una equivalencia de categorías entre las representaciones del álgebra de distribuciones en $G$ y las representaciones de $G$ .
Por último, ¿cómo funciona esta álgebra de distribuciones en $G$ se relacionan con el álgebra de Lie de $G$ ?
Aquí, la respuesta es muy agradable en la característica $0$ ya que el álgebra de distribuciones en $G$ es de hecho isomorfo al álgebra envolvente universal de $\operatorname{Lie}(G)$ y, por tanto, las representaciones de esta álgebra corresponden precisamente a las representaciones de $\operatorname{Lie}(G)$ .
Lo anterior, por supuesto, carece de cualquier tipo de detalle, pero a menudo es bueno ver primero el panorama general, así que eso es lo que decidí proporcionar aquí.
Para más detalles, los libros llamados "Linear Algebraic Groups" son una referencia común (hay uno de Borel, Humphreys y Springer, aunque yo mismo no estoy familiarizado con el de Borel). No estoy seguro de si alguno de esos libros discute realmente el álgebra de las distribuciones (ya que el enfoque principal está en la característica $0$ donde no es realmente necesario), así que si quieres un tratamiento más avanzado, te recomiendo Representaciones de grupos algebraicos de Jantzen (pero ten en cuenta que se trata de un libro muy avanzado que supone una buena familiaridad con al menos uno de los libros anteriormente mencionados, así como algo más de geometría algebraica).
