Clásica vs Cuántica uso de la spin 4-vector

Question

Tengo un par de preguntas básicas acerca de la Pauli-Lubanski spin 4-vector S.

1. Lo he utilizado en cálculos mecánica cuántica como un operador, es decir, cada uno de los componentes de S es una matriz del operador que opera sobre un vector propio o eigenspinor. Pero mi pregunta es acerca de la utilidad de S en un sentido clásico, es decir, que representa el físico, el momento angular de espín. Por ejemplo, en un electrón del marco del resto, es el spin 4-vector para el caso de spin-up a lo largo del eje z dada por S = (0, 0, 0, h/2) y girar hacia abajo a lo largo de x, tenemos S = (0, -h/2, 0, 0), etc?

2. Sé que en la partícula del resto marco S = (0, Sx, Sy, Sz) donde las componentes espaciales son el momento angular de espín 3-componentes del vector. Sin embargo, cuando nos Lorentz impulsar S, el componente de tiempo ya no es cero. En esta impulsado caso, hacer los 3 componentes espaciales todavía le dan el momento angular de espín 3-vector (análogo para el caso de 4-momentum donde los 3 componentes espaciales siempre dar las 3-impulso), o los componentes espaciales ahora decir algo más? La razón por la que no estoy seguro es de que algunos de los 4-vectores, por ejemplo, 4-velocidad, cuentan con componentes espaciales que no representan 3-velocidad en absoluto, ya que puede ser superluminal, etc.

Answer 1

El componente de tiempo de la Pauli-Lubanski vector es igual a la helicidad los tiempos de los (tres) impulso de magnitud:

$w^0 = \lambda ||\mathbf{p}|| =\mathbf{j}.\mathbf{p}$

Donde $\lambda$ es la helicidad, $\mathbf{j}$ el (total) momento angular y $\mathbf{p}$ es de los tres el impulso. Por favor, consulte el siguiente artículo por Carineña, García-Bondía, Lizzi, Marmo y Vitale (la segunda fórmula de la sección 2). Por favor, consulte también la siguiente fórmula donde la transformación de la estructura espacial y los componentes de tiempo de la Pauli-Lubanski vector en el marco de impulso está escrito:

$ w^0 \rightarrow cosh(\xi)w^0 + sinh(\xi) \mathbf{n}.\mathbf{w}$.

$ \mathbf{w } \rightarrow \mathbf{w} - sinh(\xi)w^0 \mathbf{n} + (cosh(\xi)-1) (\mathbf{n}.\mathbf{w}) \mathbf{w}$.

Donde $\mathbf{w}$ son los componentes espaciales de la Pauli-Lubanski vector. $\xi$ es la rapidez, $\mathbf{n}$ es el impulso de la dirección

Ahora es fácil deducir las propiedades de la componente de tiempo de la Pauli-Lubanski por la inspección:

1) Para un spinless de partículas, este componente es idéntica a cero en todos los marcos de referencia:

2) Para una partícula sin masa, y una transformación de Lorentz, que conserva el impulso. El momento angular gira alrededor de el impulso vector (Wigner rotación) de tal manera que la helicidad se conserva. Esto es debido a que para un lightlike 4-el impulso, el Pauli-Lubanski vector debe ser proporcional al momento de vectores, por lo tanto, su componente de tiempo no cambia en virtud de un impulso de preservar La transformación de Lorentz.

Actualización

La razón es la siguiente: Para la masa de la partícula, la Pauli-Lubanskii 4-vector es la luz. Teniendo en cuenta que siempre es ortogonal para el impulso del 4-vector (que es también la luz-como en este caso), los dos los vectores deben ser proporcionales (dos ortogonales de la luz-como vectores debe ser proporcional). El factor de proporcionalidad es sólo el relación entre la helicidad (tiempo de la componente de la Pauli-Lubanski vector) y la energía (componente de tiempo de la 4-impulso). Este suggets que cuando la energía cinética de una partícula es mucho más grande que su resto de la masa, la Pauli-Lubanski y el impulso vectores tienden a ser alineados. En fin a ver que más explícitamente, se puede utilizar el la expresión de la Pauli-Lubanski componentes espaciales en términos de la vuelta y el impulso de los vectores de una enorme de partículas:

$\mathbf{w} = m \mathbf{s} + \frac{ \mathbf{p}.\mathbf{s}}{p_0+m}\mathbf{p}$.

A partir de esta fórmula es claro que cuando la velocidad de la partícula se hace más grande, el segundo término domina y la pauli-Lubanski componentes espaciales 3-vector que se convierte en casi alineado con el impulso espacial de los componentes 3-vector.