Sabemos que cualquier espacio vectorial normalizado de dos dimensiones $X,Y$ son isomórficas, y definimos la distancia Banach-Mazur entre $X,Y$ como $$ d(X,Y)= \inf \{ \|T\|\|T^{-1}\|:T \in GL(X,Y) \} ,$$ donde $GL(X,Y)$ es el espacio de todos los isomorfismos lineales. ¿Cuál es la motivación detrás de esta definición? ¿Existe otro tipo de métrica que podamos definir de manera similar entre espacios normativos de dimensiones finitas? Y por último, ¿hay una noción similar para la versión dimensional infinita? En cuanto al contexto, estoy leyendo sobre $ \mathcal {L}_p$ -espacios que utilizan esta distancia Banach-Mazur.
Respuestas
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Para un mapa lineal invertible $T: X \rightarrow Y$ la cantidad $\|T\| \|T^{-1}\|$ se llama el número de condición del operador, y mide el error proporcional acumulado por la producción en $Y$ de $T$ cuando se introduce un error en el argumento de $X$ . Ver aquí para los detalles. Los errores se miden en las normas respectivas de cada una de las $X$ y $Y$ así que la cantidad $\|T\| \|T^{-1}\|$ mide cuán "estable" es la norma en el proceso de atravesar $X$ a $Y$ a través del isomorfismo $T$ es. En el análisis numérico, especialmente, siempre se desea minimizar el número de condición, ya que significa que si el ordenador introduce algún pequeño error de redondeo o algo así, esto sólo conducirá a un pequeño error en el resultado final.
En un contexto más teórico, al tomar el infimo sobre todos los isomorfismos $T: X \rightarrow Y$ estamos buscando las constantes óptimas utilizadas para relacionar las normas en cada espacio; en otras palabras, ¿qué tan cerca de una isometría podemos llegar? En su situación, por ejemplo, sabemos que para $ \mathbb {C}^n$ dado que el $ \ell_p $ y $ \ell_q $ normas e isomorfismo $T$ podemos encontrar estimaciones óptimas como $\|x\|_p \le C\|Tx\|_q$ pero $C$ nunca puede ser exactamente 1.
En cuanto a su última pregunta, no creo que haya ninguna restricción para tomar espacios lineales normalizados dimensionales finitos o infinitos, aunque no pretendo ser un experto en tales asuntos. Por supuesto, si los espacios son infinitamente dimensionales, tienes que asegurarte de que realmente son isomórficos.
Theo
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Intentaré dar una explicación más geométrica. Primero note que siempre puede escalar $T$ de tal manera que tiene la norma uno. Por lo tanto, la distancia Banach-Mazure puede ser reescrita como:
$$ d(X,Y)= \inf\ {||T^{-1}||: T \in GL(X,Y), ||T||=1\} $$
Geométricamente, $||T||=1$ significa que $T(B_X) \subseteq B_Y$ y no hay ampliación de $T(B_X)$ todavía cabrá en el interior $B_Y$ ( $B_X$ y $B_Y$ representan las bolas de la unidad de los dos espacios). Por otro lado, tenemos que
$$ T^{-1}(B_Y) \subseteq ||T^{-1}||B_X $$
o equivalente
$$ B_Y \subseteq ||T^{-1}||T(B_X) $$
Tres veces:
$$ T(B_X) \subseteq B_Y \subseteq ||T^{-1}||T(B_X) $$
Así, geométricamente, $||T^{-1}||$ representan la menor cantidad en la que se debe aumentar $T(B_X)$ de tal manera que contiene $B_Y$ . La distancia Banach-Mazur representa el mínimo de tales agrandamientos, que se toman sobre todo el isomorfismo lineal que envía $B_X$ dentro de $B_Y$ .
Para una quizás mejor comprensión intuitiva, toma $B_X$ para ser la esfera de la unidad. Entonces para cualquier isomorfismo $T$ , $T(B_X)$ va a ser un elipsoide. Para la distancia Banach-Mazur, estás buscando el elipsoide que mejor se adapte. Es decir, estás buscando el elipsoide que encaja dentro $B_Y$ (tocando el límite), de tal manera que la ampliación requerida para que este elipsoide contienen $B_Y$ es lo más pequeño posible.
Sí, hay una noción similar para los espacios infinitos y dimensionales de Banach, con la convención de que cuando $X$ y $Y$ no son isomórficos, $d(X,Y)= \infty $ .
