Una función con una propiedad $f(x+y)=f(x)f(y)$

Question

Una función con la propiedad $f(x+y)=f(x)f(y)$ es una función exponencial bien conocida, $f(x)=a^x$ . Mi pregunta es, ¿cómo se demuestra si no hay otra función con este tipo de propiedad?

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Edición: Siempre encuentro esto en los concursos de matemáticas. A primera vista, es realmente la función exponencial. Como veo en la sección de comentarios, hay muchas otras funciones.

Answer 1

Los comentarios que sugieren $f(x)=1$ y $f(x)=0$ como soluciones son correctas, pero son sólo casos especiales de $f(x)=a^x$ con $a=1$ o $a=0$ . Si $f$ no es continua, entonces $f$ no tiene por qué ser una función exponencial sobre los irracionales, sino sobre $\mathbb{Q}$ $f(x)=a^x$ si satisface esta propiedad.

Para ver esto, dejemos $f(1)=a$ y nota que $f(n+1)=f(n)f(1)$ por lo que por inducción $f(x)=a^n$ para todos $a\in\mathbb{N}$ . Asumiendo que $a\neq0$ , de $f(x+(-x))=f(x)f(-x)$ donde $f(x+(-x))=f(0)=1$ (el hecho de que $f(0)=1$ debe probarse primero a partir de la consideración de $f(1+0)$ ), obtenemos que $f(x)=a^x$ para todos $x\in\mathbb{Z}$ . También tenemos que $f(\underbrace{\frac{1}{p}+\ldots+\frac{1}{p}}_\text{$ p $ terms})=(f(\frac{1}{p}))^p=f(1)=a$ para que $f(\frac{1}{p})=a^\frac{1}{p}$ por lo que es fácil argumentar a partir de este hecho que $f(x)=a^x$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ .
Ahora bien, si sabemos que $f$ es continua en todas partes (creo que también es suficiente para $f$ para ser continua sólo en un punto) se puede demostrar que $f(x)=a^x$ para todos $x\in\mathbb{R}$ .

Answer 2

La condición $f(x+y)=f(x)f(y)$ sólo implica $f(x)=a^x$ para todos los números racionales $x\in\mathbb{Q}$ y para algunos $a\in\mathbb{R}$ . Se puede obtener esta igualdad para todos los números reales si se tienen más condiciones, por ejemplo, si $f$ es continua en $\mathbb{R}$ o si $f$ es medible por Lebesgue.

Answer 3

He demostrado en Prueba de la existencia de $e^x$ y sus propiedades que, si $f(x)$ es diferenciable en $0$ , entonces $f(x+y) =f(x)f(y) $ implica que $f'(x) =f'(0) f(x) $ .

Esto lleva inmediatamente a la función exponencial o función de potencia.

Answer 4

SUGERENCIA: Utilizando la ecuación $f(x+y)=f(x)f(y)$ ,

1. Si $f(x)$ es polinómica, demuestre que el grado de L.H.S. $\not =$ grado de R.H.S. (excepto si $f(x)$ es el polinomio cero)
2. Si $f(x)$ es trigonométrico, demuestre que no es posible utilizando las fórmulas de expansión de $\sin,\cos,\tan$ de $(x+y)$ .