demostrar la convergencia de una secuencia definida de forma recursiva

Question

La secuencia de $\left \{ a_{n} \right \}$ está definido por la siguiente relación de recurrencia: $$a_{0}=1$$ and $$a_{n}=1+\frac{1}{1+a_{n-1}}$$ for all $n\geq 1$

Parte 1)- Demostrar que $a_{n}\geq 1$ todos los $n\geq 0$ Parte2)- Demostrar que la secuencia de $\left \{ a_{n} \right \}$ converge para algún número real $x$, y, a continuación, calcular el $x$

Para la primera parte, he podido demostrar que el uso de la inducción. Para la segunda parte: El problema es cómo demostrar que esta sucesión es convergente. Una vez que la convergencia está demostrado, a continuación, a partir de la relación de recurrencia se puede deducir que $x=\sqrt{2}$. Con el fin de demostrar que es convergente, traté de ver cómo esta secuencia converge a $x$. He calculado los términos $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$. Puedo ver que la secuencia no es ni disminución ni aumento, por lo que la monotonía teorema de convergencia no puede ser aplicado. Puedo ver que la distancia entre dos términos consecutivos es cada vez más pequeño y más pequeño, así que traté de demostrar que esta secuencia es la contractura. $\left | a_{n+1} -a_{n}\right |=\frac{1}{\left | 1-a_{n} \right |\left | 1+a_{n} \right |}\left | a_{n}-a_{n-1} \right |$, y obviamente, $\frac{1}{\left | 1+a_{n} \right |}\leq \frac{1}{2}$. Necesito demostrar que $\frac{1}{\left | 1-a_{n} \right |}\leq \alpha $ donde $0< \frac{\alpha }{2}< 1$, y, por tanto, la secuencia es la contractura y por lo tanto es convergente. Si usted tiene alguna idea de cómo demostrar a $\frac{1}{\left | 1-a_{n} \right |}\leq \alpha $ o cualquier otra idea por favor compartir...

Answer 1

Sugerencia: Encontrar $c$ tal que $$ \frac{a_{n+1}-\sqrt2}{a_{n+1}+\sqrt2}=c\,\frac{a_{n}-\sqrt2}{a_{n}+\sqrt2}. $$

Answer 2

La función de $\displaystyle f(x) = 1 + \frac{1}{1+x}$ ha derivado $\displaystyle f'(x) = - \frac{1}{(1+x)^2}.$ $[1,\infty)$ tenemos $-1/4 \leq f'(x) <0$, por lo que la secuencia converge por la Asignación de Contracción Teorema.

Answer 3

Esta respuesta muestra que si $b$ $d$ tienen el mismo signo, entonces $$ \frac{a+c}{b+d}\text{ es entre los }\frac{a}{b}\text{ y }\frac{c}{d} $$ Por lo tanto, $$ a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1}\etiqueta{1} $$ se entre $1$$2$.

Además, $$ \begin{align} a_{n+1}^2-2 &=\left(\frac{a_n+2}{a_n+1}\right)^2-2\\ &=\frac{2-a_n^2}{(a_n+1)^2}\tag{2} \end{align} $$ Por lo tanto, la inducción y la $(2)$ muestran que $$ 0\le(-1)^n(2-a_n^2)\le\frac1{4^n}\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, $(3)$ muestra que $$ \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}\etiqueta{4} $$

Answer 4

Usted ya ha encontrado que el punto límite tendría que ser $\sqrt{2}$. Tenemos que hacer uso de este conocimiento. La forma más sencilla es reemplazar la secuencia $(a_n)_{n\geq0}$ por la nueva secuencia $$b_n:=a_n-\sqrt{2}\qquad(n\geq0)\ .$$ Ahora tenemos que demostrar $\lim_{n\to\infty}b_n=0$ (si es verdad) es ciertamente más sencillo de demostrar la convergencia a un número desconocido $\xi$.

Uno ha $b_0=1-\sqrt{2}\doteq-0.414$, y un sencillo cálculo muestra que el $b_n$ obedecen a la siguiente recursión: $$b_n={1-\sqrt{2}\over 1+\sqrt{2}+b_{n-1}}\ b_{n-1}\ .$$ Nota: el factor de $b_{n-1}$ a la derecha. Si podemos demostrar que la fracción en frente de ella se $<1$ en valor absoluto que se hacen. Como el $b_{n-1}$ aparece también en esta fracción, tenemos que ser un poco cuidadoso. Yo se lo dejo a usted para probar la siguiente afirmación:

Para todos los $n\geq0$ si $|b_{n-1}|\leq1$, $$|b_n|\leq{\sqrt{2}-1\over\sqrt{2}}\ |b_{n-1}|<1\ .$$