Acabo de recordar un problema que leí hace años pero nunca encontré una respuesta:
Encuentra cuántos dígitos 0 existen en los números naturales entre 1 y 1 millón.
Soy programador, por lo que una solución rápida de fuerza bruta fácilmente me daría la respuesta, pero estoy más interesado en una solución a lápiz y papel.
Esta solución podría resultar atractiva para la mente de un programador. Digamos que rellenamos con ceros (hasta $6$ dígitos) los números del millón del $0$ al $999999$. Entonces cada una de las $6$ posiciones utiliza cada dígito por igual, para un total de $6000000/10 = 600000$ ceros.
Ahora hay que tener en cuenta que, en comparación con la pregunta real, incluimos $000000$ y excluimos $1000000$, lo cual se equilibra perfectamente. Solo necesitamos deshacer el relleno de ceros: hay $9$ números positivos de un solo dígito que fueron rellenados con 5 ceros, $90$ números de dos dígitos rellenados con $4$, etc. Por lo tanto, lo que queda es
$$600000 - 5\cdot9 - 4\cdot90 - 3\cdot900 - 2\cdot9000 - 1\cdot90000 = 488895.$$
Considera la cantidad de formas en que podemos tener un $0$ en el lugar de las unidades. Podemos tener $10, 20, 30\cdots 999990$. Estos son simplemente los números naturales $1, 2\cdots99999$ con un cero al final.
Sin embargo, también podemos poner un cero en el lugar de las decenas. Esto puede tomar la forma de $100, 101\cdots999909$. Estos son los números naturales $10,11\cdots99999$ con un cero inyectado antes del lugar de las unidades.
De manera similar, podemos contar los ceros en los otros lugares considerando los números naturales en los que pueden ser inyectados. Cada posición más a la izquierda para el cero requerirá multiplicar el número inicial por diez para dar un dígito distinto de cero a la izquierda.
Los ceros requeridos para escribir del uno al millón son $99999 + (99999 - 9) + (99999 - 99) + (99999 - 999) + (99999 - 9999) = 488889$.
EDITAR: Si te refieres al uno hasta un millón incluyendo el millón, tienes que sumar seis para obtener $488895$. ¡Supongo que también estaba pensando como un programador con el límite superior exclusivo!
Solo para mostrar que hay más de una forma de hacerlo:
¿Cuántos dígitos cero hay en todos los números de seis dígitos? El primer dígito nunca es cero, pero si agrupamos todos los dígitos no primeros juntos, ningún valor ocurre con más frecuencia que los demás, por lo que exactamente una décima parte será ceros. Hay $9\cdot 5\cdot 10^5$ tales dígitos en total, y una décima parte de ellos es $9\cdot 5 \cdot 10^4$.
Repitiendo ese razonamiento para cada longitud posible, el número de dígitos cero que encontramos entre $1$ y $999999$ inclusive es $$\sum_{n=2}^6 9(n-1)10^{n-2} = 9\cdot 54321 = 488889 $$ A eso podemos (dependiendo de cómo interpretemos "entre" en el enunciado del problema) necesitar agregar los 6 ceros de 1,000,000 en sí mismo, dando un total de 488,895.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
