Conformación de equivalencia de resistencia

Question

Enlace a la pregunta en la física portal.

Actualmente estoy trabajando en un sistema que utiliza un logarítmica y una Schwarz-Christoffel de transformación para calcular la resistencia de un área específica. Con la resistencia me refiero a la resistencia que se aplican a esa área si fuera entre dos equipotenciales irregular placas (las cuales se definen por sus vértices). En mi caso es la reluctancia magnética pero es análoga a la resistencia eléctrica.

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Tengo varias áreas de la canónica de dominio que deben ser traducidos a un valor de la resistencia en el ámbito físico(con el paso intermedio de un logaritmo). Es la resistencia (que se define de forma análoga a la resitencia eléctrica) que puede ser calculada en el campo homogéneo de la canónica de dominio directamente relacionados con la resitencia en los físicos de dominio? La geometría de un resistor en el dominio canónico es un simple rectángulo formado por cuatro prevertices. En el ámbito físico es mucho más complicado (véase la figura).

La medida de resistencia pueden ser formulados con la ayuda de un "longitud equivalente". Podría ser que esto $\Lambda$ no se ve afectado por la conformación tranformations? \begin{align} &R=\rho\dfrac{1}{\Lambda}\\ &\text{cylinder gives: } &\Lambda_\text{cyl}=\frac{2\pi \ell}{\log\frac{r_2}{r_1}}\\ &\text{cuboid gives: } &\Lambda_\text{cub}=\dfrac{A}{\ell} \end{align}

He hecho algunos cálculos por discretising el ámbito físico y comparando la resistencia generada en el dominio canónico. Los resultados fueron comparables, tal vez por accidente, tal vez a causa de una fuerte implicación matemática, no puedo decir.

Pregunta en resumen: ¿Puede el prevertices que definen un rectángulo en el dominio canónico definir el valor de la resistencia de la asignada rectángulo en los físicos de dominio. (Con la intermidate paso de un logaritmo)

Yo uso el SC-Toolbox para Matlab creado por Tobin A. Driscoll.

EDIT: Además

Digamos que tenemos un rectángulo que ha sido girado y traducido (transformaciones de Möbius si quieres) para que sus lados son perpendiculary orientado a la real y eje imaginario, uno de sus vértices es (0,0) y que se encuentra en el 1er cuadrante. Tenemos que calcular su resistencia.

Digamos que el vértice opuesto de (0,0) es $z=x+iy=|z|e^{i\varphi}$, la parte imaginaria de $z$ representa la longitud de la ruta, mientras que la parte real representa la proyección de área(el área es solamente visible en 3D, lo estamos mirando en 2D). Escribimos $R'$ a causa de la representación en 2D.

La resistencia de este rectángulo será por lo tanto: \begin{align} R'=\rho \frac{\mathfrak{Im}(z)}{\mathfrak{Re}(z)} \end{align} Que puede ser escrito como: \begin{align} R'&=\rho \frac{|z|\sin\varphi}{|z|\cos\varphi}=\rho \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\\ R'&=\rho\tan\varphi \end{align}

La cosa que la resistencia sólo depende del ángulo de $\varphi$ y la definición de la conformación de las transformaciones como el ángulo de la preservación, me indujeron a esta pregunta. He encontrado un montón de espacio de ser invariantes conformes, pero en este caso es una función que se discute.

No estoy seguro de cómo proceder. Puedo demostrar que las transformaciones(mapas) son de conformación, pero no sé qué hacer acerca de una función, en la canónica en el espacio.

Answer 1

Teniendo en cuenta lo que escribió y lo que esta página de la wikipedia dice (las referencias se pueden encontrar allí también), aquí es, creo, la interpretación matemática (y respuesta) de su pregunta. Sin embargo, con el fin de entender lo que usted necesita saber más matemáticas que usted (usted necesita básicos de análisis complejo, el general de la topología y la geometría diferencial). En resumen, sí, la resistencia es invariantes conformes.

Consideramos abierto conectado delimitada subconjuntos $\Omega$ de la compleja avión ${\mathbb C}$. Revisión en el límite de $\Omega$ en dos subconjuntos disjuntos $A$$B$. Voy a suponer que los conjuntos de $A$ $B$ están cerrados y conectado. La triple $Q=(\Omega, A, B)$ es un condensador. (El significado físico aquí es que el dominio $\Omega$ se llena con un material que tiene una conductividad constante, que se establece a 1. La unidad de carga eléctrica es aplicada a lo largo del continuum $B$.)

Ejemplo. $\Omega$ es el rectángulo abierto $$ R_{a,b}=\{(x,y): 0<x<a, 0<y<b\}. $$ Conjunto $$ A=\{(0, y): 0\le y\le b\}, B= \{(a, y): 0\le y\le b\} $$ (los lados verticales del rectángulo).

Definir la capacidad de un condensador
$$ c(Q)=\inf \{E(u)| \ u:\bar{\Omega}\{\mathbb R}, u|_A=0, u|_B=1\} $$
donde suponemos que las funciones de $u$ son continuamente diferenciables en $\Omega$ y son continuas en su cierre de $\bar\Omega$. La cantidad de $E(u)$ es la energía: $$ E(u)=\iint_{\Omega} |du|^2 dxdy, $$ donde $du$ es el diferencial de $u$. Se sabe que infimizing secuencias de $u_n$ $c(Q)$ convergen (uniformemente en compactos en $\Omega$) para funciones armónicas $h$$\Omega$, de modo que $$ E(h)=c(Q)= \lim_{n\to \infty} E(u_n). $$ Sin embargo, la armónica de funciones $h$ (en general) no se extienden de forma continua para el cierre de la $\bar\Omega$. Por último, definir la resistencia del condensador como $$ r(Q)= \frac{1}{c(Q)}. $$ Esta cantidad se la conoce también como la extremal de la longitud de la familia de las rutas de $\gamma: (0,1)\to \Omega$, de tal manera que $\gamma(t)$ se acumula a $A$ $t\to 0$ y acumula $B$$t\to 1$.

Ejemplo. Supongamos que $\Omega=R_{a,b}$, un rectángulo con los sets $A$ $B$ el elegido para ser sus lados verticales como en el anterior. Entonces $$ r(\Omega, a, B)= \frac{a}{b}. $$ Los extremos de la función en este caso es $h(x,y)=x/a$.

Ahora es bien sabido que para un general de condensador $Q$, la capacidad de $c(Q)$ es una de conformación invariantes de la $Q$, en el siguiente sentido. Supongamos que $f: \bar\Omega\to \bar\Omega'$ es un homeomorphism que restringe a un mapa de conformación $f: \Omega\to \Omega'$; definir el nuevo condensador $$ Q'=(\Omega', f(A), f(B)). $$ A continuación,$c(Q)=c(Q')$. La razón para esto es la siguiente. Se puede definir la energía de funciones con respecto no sólo a la métrica Euclidiana $g_0=dx^2 + dy^2$, pero a un arbitrario métrica de Riemann $g$$\Omega$: $$ E(u,g)= \iint_{\Omega} |d u|_g^2 dA_g, $$ donde $dA_g$ es el área de la forma de $g$ $|du|_g$ es la norma de la diferencia de $u$ con respecto a la métrica de Riemann $g$. A continuación, para una función de $v: \Omega'\to {\mathbb R}$$u=v\circ f$, claramente tenemos $$ E(u, g)= E(v), $$ donde $g=f^*(dx^2 + dy^2)$. Desde $f$ es de conformación en $\Omega$, la métrica $g$ es de conformación, es decir, $$ g= \lambda(z) g_0, $$ donde $\lambda$ es positiva continua de la función en $\Omega$. Por último, se observa que $$ E(u, g)= E(u) $$ para cada función de $u$$\Omega$, desde el $$ dA_g= \lambda^2 dxdy $$ mientras $$ |du|^2_g= \lambda^{-2} |du|^2. $$ Las dos funciones escalares $\lambda^2, \lambda^{-2}$ cancelar cada uno de los otros y las integrales son los mismos ya que son la integración de la igualdad de formas.

Porque la capacidad es invariantes conformes, por lo que es recíproco $r(Q)$.