Límite inferior en Número de Salvajemente Ramificado Extensiones de $\mathbb{Q}_p$

Question

Supongamos $p$ es el primer y $p$ divide $e$ divide $n$. Normalmente hasta isomorfismo hay un montón de salvajemente ramificado extensiones de $\mathbb{Q}_p$ que tienen un grado $n$ y el índice de ramificación $e$. Krasner la Masa de la Fórmula nos da un número exacto de las extensiones, pero me preguntaba si alguien sabía si era posible conseguir un claro límite inferior en el número de grados $n$ extensiones de "isomorfismo" de $\mathbb{Q}_p$ con índice de ramificación $e$.

Estoy investigando una propiedad que creo que sólo deberían aplicarse a las confiando inocentemente ramificado, extensiones, pero quería saber si yo podía estar seguro de que no se aplica a cualquier salvajemente ramificado extensiones. Si yo podría mostrar el número de extensiones de $\mathbb{Q}_p$ hasta el isomorfismo con el grado $n$ y el índice de ramificación $e$$> e$, entonces eso sería increíble.

Por desgracia, yo no sé mucho acerca de la delimitación de un recuento de extensiones de hasta isomorfismo, todo lo que sé hacer es cruzar la generación de polinomios utilizando Panayi del algoritmo para ver qué extensiones son isomorfos.

Answer 1

Tal vez estoy fuera de mi profundidad, pero ¿por qué quieres un mero límite inferior cuando Krasner fórmulas ofrecen ya un recuento exacto? Si entiendo correctamente, por Krasner, la expresión

$$\large {\frak N}=e+e\sum_{s=1}^{v_p(e)} p^{\Large s+\frac{n}{p^{s-1}}\frac{p^{s-1}-1}{p-1}}\left(p^{\Large \frac{n}{p^s}}-1\right)$$

es el número de clases de isomorfismo de las extensiones de ${\bf Q}_p$ grado $n$ y ramificationin índice $e$; I de la base de que este fuera el primer párrafo introductorio del papel de la Enumeración de las clases de isomorfismo de las extensiones de $p$-ádico campos. Si $p\nmid e$ (es decir, que estamos buscando a domar extensiones) la suma es vacío y el recuento es, precisamente,$e$, pero de lo contrario (si estamos considerando salvaje extensiones) $p\mid e$ implica que la suma es no vacío, y es claro que los términos son positivos por lo que el recuento es, de hecho, $>e$ como usted desea.