¿Cuál es la definición general de escala temporal para una ecuación diferencial?

Question

Para una ecuación diferencial como $\dot{x}=ax$ donde $x$ es una función sobre una variable independiente $t$ y $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$ y $a$ es una constante, definimos la escala de tiempo $\frac{1}{a}$ que si $a$ sea un número real negativo podemos ver este concepto como el tiempo de vida media de $x$ en $\ln 2$ . Y ya sabes que el tiempo de vida media significa el tiempo que necesitas para perder la mitad de la cantidad inicial de $x$ . Como se puede ver en el siguiente cálculo.

Dejemos que $a=-k$ donde $k\in\mathbb{R}^{>0}$ . De nuestra ecuación diferencial tenemos $x=x_0e^{-kt}$ así que si muestro el tiempo de vida media por $\tau_{\frac{1}{2}}$ entonces $$\frac{x_0}{2}=x_0e^{-k\tau_{\frac{1}{2}}}\Longrightarrow \ln 2=k\tau_{\frac{1}{2}}\Longrightarrow \tau_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{k}$$ Con este concepto escala de tiempo hacemos muchas cosas, una es elegir el tamaño del paso para la simulación numérica de nuestra ecuación diferencial utilizando el método de Euler, por ejemplo. O si tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales en la forma anterior, decimos cuál tiene un efecto más rápido en nuestras poblaciones comparando las escalas de tiempo de cada ecuación diferencial presente.

Pero, ¿qué debería definir la escala de tiempo para una forma general de una ecuación diferencial que al menos nos haga esos dos trabajos que he mencionado?

Answer 1

El término escala de tiempo con respecto a las EDOs se define a menudo como la cantidad de tiempo para el sistema (la solución $y(t)$ ) para cambiar "significativamente". Esta es la definición más precisa que se puede obtener, ya que hay muchos tipos de escalas de tiempo fundamentalmente diferentes de las que podemos hablar dependiendo del sistema en cuestión.

Veamos algunos ejemplos: para la EDO $\dot{y} = -ky\implies y=e^{-kt}$ una escala de tiempo útil es la vida media; el tiempo que tarda en $y$ a la mitad de su valor. Para la ODE $\ddot{y} + \omega^2 y \implies y = \sin(\omega t)$ una vida media no es un concepto útil, sin embargo podemos hablar de un periodo $T = \frac{2\pi}{\omega}$ de las oscilaciones. Para el ODE $\ddot{y} + \omega^2y + k\dot{y} = -k\omega e^{-kt}\cos(\omega t) \implies y = e^{-ky}\sin(\omega t)$ podemos hablar tanto de un periodo como de una vida media, por lo que hay dos escalas de tiempo útiles asociadas a esta EDO. Se pueden encontrar muchos otros ejemplos y, por ello, es difícil dar una definición muy precisa del término.

Cuando se discuten EDOs que describen sistemas físicos (donde las cantidades tienen unidades) podemos utilizar análisis dimensional para buscar escalas de tiempo en el problema. Esto suele ser muy útil para intuir cómo se comportarán las soluciones sin tener que resolver la EDO real. Por ejemplo, para la EDO $\ddot{y} + a^2\dot{y} + b^2 y = 0$ tenemos dos parámetros de dimensión completa $[a] = s^{-1/2}$ y $[b]=s^{-1}$ por lo que podemos esperar que la solución pueda ser caracterizada por dos escalas de tiempo $t_1 \propto \frac{1}{b}$ y $t_2 \propto \frac{1}{a^2}$ y dependiendo del tamaño relativo de $t_1$ y $t_2$ podemos deducir el comportamiento aproximado del sistema. Sin embargo, sólo una solución completa de la EDO puede revelar que el verdadero período de las oscilaciones viene dado por la expresión más complicada $\frac{4\pi t_1t_2}{\sqrt{4t_2^2-t_1^2}}$ y la vida media viene dada por $2\log(2)t_2$ .

Supongo que lo que intento decir con todo el ejemplo anterior es que las escalas de tiempo son un concepto muy útil sin necesidad de tener una definición muy precisa.

Answer 2

Creo que lo que has introducido arriba tendría sentido en cualquier tipo de ecuación diferencial que provenga de evaluar algún evento real, ya sea en biología o química o física..., pero por ejemplo, tendría una regularidad en la ED periódica. De tal manera que si es negativo entonces pierdes y si es positivo obtienes. Pero si quieres definirlo, creo que la posible definición correcta puede ser: "la eficacia del coeficiente de tiempo constante en función de lo que se evalúa"