La convergencia de series? (La topología en un Powerset de un Conjunto?)

Question

Dada una secuencia de conjuntos, hay algunos bien definida la noción de un límite de un conjunto?

En otras palabras, dado que algunos universo set $U$, me pregunto si no es una topología en $2^U$ (el powerset de $U$) que el de costumbre intersección y la unión de los límites convergen en que la topología.

Como un ejemplo claro, vamos a $U=\mathbb{N}$, $S_n = \{x\in \mathbb{N} | n< x \le 2n \}$, $T_n = \{n\}$.

El límite de ambas secuencias de arriba debe ser el conjunto vacío por el siguiente argumento:

\begin{align} S_n &\subset (n,\infty) \\\\ \lim_{n\to\infty} S_n &\subset \lim_{n\to\infty} (n,\infty) = \cap_{n\in\mathbb{N}} (n,\infty) = \emptyset \end{align}

(No estoy seguro de cómo justificar aprobar una serie de inclusión hasta el límite.)

Answer 1

El natural de la topología en $2^U$ es el compacto-abierta de la topología, que aquí es el producto de la topología. Este es, precisamente, la topología de pointwise la convergencia de las funciones de los indicadores $U \to 2$. Por lo tanto una secuencia $S_1, S_2, ...$ de series converge en esta topología, si y sólo si, para cada $u \in U$, pero un número finito de $S_i$ contienen $u$ (de modo que $u$ está en el límite establecido) o todos, pero un número finito de $S_i$ no contienen $u$ (de modo que $u$ no está en el límite establecido). Por lo tanto de las secuencias que describen han limitar el conjunto vacío como se desee.

Equivalentemente, (creo), se puede definir una secuencia de conjuntos de converger si su liminf y limsup (definido en la forma habitual) convergen en el mismo conjunto.