si $f(x)$ tales $x^2\cdot f'(x)+2xf(x)=\frac{e^x}{x}$ $f'(x)\ge 0$

Question

Deje que la función $f(x)$ tales $$x^2\cdot f'(x)+2xf(x)=\dfrac{e^x}{x},f(2)=\dfrac{e^2}{8}$$ mostrar que $$f'(x)\ge 0,\forall x>0$$

Pensé $4f'(2)+4f(2)=\dfrac{e^2}{2}$,$f'(2)=0$, también $$2xf'(x)+x^2f''(x)+2f(x)+2xf'(x)=\dfrac{e^x\cdot x-e^x}{x^2}\Longrightarrow f''(2)=0$$Bien y ahora estoy atascado y no sé cómo proceder

Answer 1

Tenemos \begin{eqnarray*} x^{2}\partial _{x}f(x)+2xf(x) &=&\partial _{x}\{x^{2}f(x)\}=\frac{\exp [x]}{x } \\ x^{2}f(x) &=&4f(2)+\int_{2}^{x}dy\frac{\exp [y]}{y}=\frac{e^{2}}{2}% +\int_{2}^{x}dy\frac{\exp [y]}{y} \\ f(x) &=&\frac{1}{x^{2}}\{\frac{e^{2}}{2}+\int_{2}^{x}dy\frac{\exp [y]}{y}\} \\ \partial _{x}f(x) &=&-\frac{2}{x^{3}}\{\frac{e^{2}}{2}+\int_{2}^{x}dy\frac{ \exp [y]}{y}\}+\frac{1}{x^{2}}\frac{\exp [x]}{x}=\frac{1}{x^{3}}\{\exp [x]-e^{2}-2\int_{2}^{x}dy\frac{\exp [y]}{y}\}\\=\frac{1}{x^{3}}g(x) \end{eqnarray*} Para $x<2$ hemos \begin{eqnarray*} g(x) &=&\exp [x]-e^{2}-2\int_{2}^{x}dy\frac{\exp [y]}{y}=\exp [x]-e^{2}+2\int_{x}^{2}dy\frac{\exp [y]}{y} \\ &\geqslant &\exp [x]-e^{2}+2\int_{x}^{2}dy\frac{\exp [y]}{2}=\exp [x]-e^{2}+\int_{x}^{2}dy\exp [y]=0 \end{eqnarray*} por lo $\partial _{x}f(x)\geqslant 0$. Para $x>2$ $$ g(x)=\partial _{x}\{\exp [x]-e^{2}-2\int_{2}^{x}dy\frac{\exp [y]} de{y}\}=\exp [x]-2\frac{\exp [x]}{x}=(1-\frac{2}{x})\exp [x]>0 $$ por lo $g(2)=0$ $g(x)$ es una función creciente de $x>2$ y llegamos a la conclusión de que $\partial _{x}f(x)>0$$x>2$.

Answer 2

desde $$(x^2f(x))'=\dfrac{e^x}{x}$$ Let $F(x)=x^2f(x)$,then we have $F'(x)=\dfrac{e^x}{x}$,

por otro lado tenemos $$x^2f'(x)+2xf(x)=\dfrac{e^x}{x}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{\frac{e^x}{x}-2xf(x)}{x^2}=\dfrac{e^x-2x^2f(x)}{x^3}=\dfrac{e^x-2F(x)}{x^3}$$ y considerar $$G(x)=e^x-2F(x)\Longrightarrow G'(x)=e^x-2F'(x)=e^x-\dfrac{2e^x}{x}=e^x(1-\dfrac{2}{x})$$ por lo $0<x<2,\Longrightarrow G'(x)<0$,y al $x>2$,luego tenemos $G'(x)>0$,por lo que $$G(x)\ge G(2)=e^2-2F(2)=e^2-8f(2)=0$$ así $$f'(x)>0$$