Número esperado de (0,1), distribuidos aleatorias continuas variables necesarias para la suma de hasta 1

Question

Yo defino $X_i$ como una variable aleatoria que se distribuye uniformemente entre (0,1). ¿Cuál es el número esperado de tales variables se requieren para hacer la suma, sólo tienes que llegar más alto que 1. Gracias

Answer 1

Le pregunté a una pregunta relacionada en MathOverflow un tiempo atrás. Aquí está el enlace. Deje $N$ el número de $U(0,1)$ random variables necesarias para la suma de la cruz $1$. De hecho, es posible derivar el pmf de $N$ y calcular el $E(N)$ como David de la Barra de Moshe ha indicado. Pero hay una ingeniosa derivación si sólo estamos interesados en $E(N)$ que consiste en el acondicionamiento de la primera variable aleatoria $U_1$ que elegimos. He trazado un esquema siguiente. Déjeme saber si cualquier parte de la derivación no está claro.

Deje $N(x)$ se espera que el número de $U(0,1)$ random variables necesarias para la suma de la cruz $x$ donde $0 \leq x \leq 1$. A continuación, una recursividad puede ser derivado a $f(x) = E(N(x))$

$f(x) = \int_{0}^{1} E(N(x) \mid U_1 = y) dy$.

Esta integral naturalmente se divide en dos - que entre el $0$ $x$ y que entre el$x$$1$. Si $U_1 < x$, $E(N(x))$ es, simplemente,$1 + f(x-U_1)$. Si $U_1 > x$, $E(N(x))$ es sólo $1$. Esto nos dará una ecuación integral para$f(x)$, que puede resolverse para obtener la solución (con la adecuada condición inicial) como $f(x) = e^x$.

Answer 2

Este problema es bien conocido. Para una respuesta, véase, por ejemplo, la primera parte de la Sección 2 en http://myweb.facstaff.wwu.edu/curgus/Papers/27Unexpected.pdfo las Ecuaciones (7)-(10) en http://mathworld.wolfram.com/UniformSumDistribution.html

Answer 3

No sé la cifra exacta, pero por Wald de la ecuación es entre 2 y 4.

Edit: Vamos a $N$ el número de términos que se requieren. $N$ es un tiempo de paro de la secuencia de $X_1, X_2, \dots$, por lo Wald de la ecuación nos da $$E[X_1 + \dots + X_N] = E[N] E[X_1].$$ Tenemos $E[X_1] = 1/2$, e $1 \le X_1 + \dots + X_N \le 2$, así reorganizar nos da $2 \le E[N] \le 4$.