Demostrando el área de un cuadrado y los axiomas requeridos

Question

Recientemente me di cuenta de que la fórmula del área de todos los polígonos, y la mayoría de las figuras básicas, pueden demostrarse a partir de las áreas del cuadrado y el rectángulo. Por ejemplo, si conocemos el área del rectángulo, podemos obtener la fórmula del área del paralelogramo, luego el triángulo y así sucesivamente. Esto nos lleva a la pregunta de cómo probar que el área del cuadrado con lado $a$ es $a^2$.

Acabo de encontrar un artículo en ProofWiki (http://www.proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle), que me mostró cómo obtener el área del rectángulo a partir del del cuadrado, lo cual completa el resto del enlace. Pero, ¿y el cuadrado?

Veo que para una figura tan básica necesitamos algunos axiomas para tener una base sólida. Uno que considero absolutamente esencial es que un cuadrado de $1$ unidad tiene un área de $1$ unidad cuadrada, a partir del cual podemos generalizar a cuadrados más grandes. Otro que usamos en la demostración del rectángulo es que, si una figura $A$ se divide en diferentes piezas, entonces el área de $A$ es la suma de las áreas de las diferentes piezas.

Entonces, mi primera pregunta: ¿qué conjunto de axiomas se necesitan para describir de la mejor manera y sin ambigüedades el área de las figuras?

De todos modos, la prueba informal que nos muestran en las escuelas primarias, que divide por ejemplo un cuadrado de $5 \cdot 5$ en $25$ piezas de $1$ cm$^2$ (intuitivamente muy plausible) no me convence. De alguna manera, podemos generalizarlo a números racionales, pero ¿qué pasa si el lado es $\pi$? No podemos seguir dividiéndolo infinitamente.

Entonces, la segunda pregunta: ¿Cómo, utilizando los axiomas, encontramos el área del cuadrado? ¿Y hay alguna brecha cuando avanzamos, por ejemplo, con el rectángulo? Gracias.

Answer 1

La pregunta es ¿dónde se comienza con la definición de "área"? Hasta donde yo sé, hay dos opciones:

1. Desarrollar una noción general de una medida en el plano, digamos, en el espíritu de la integral de Lebesgue. Entonces la fórmula para la medida de un rectángulo se deriva como parte de la definición de la medida. La parte difícil de la teoría es construir una función de conjunto bien definida en un cierto álgebra de subconjuntos del plano (o del espacio $n$, no hay diferencia fundamental entre las dos construcciones).

2. También puedes empezar con los axiomas de la geometría euclidiana (¡que no incluyen nada sobre áreas!) y luego desarrollar un concepto de área para regiones poligonales generales (no solo convexas) en el plano. Si tu objetivo es presentar algo que los estudiantes de secundaria o los estudiantes universitarios típicos (en una clase de geometría euclidiana) puedan comprender, entonces esta es la manera de proceder. Echa un vistazo al libro

E. Moise, "Geometría elemental desde un enfoque avanzado", especialmente la sección 13.5, donde muestra que el área de cualquier cuadrado (con lado $a$) es $a^2$, comenzando meramente con la normalización de que el área del cuadrado unitario es 1. En el camino, Moise desarrolla la noción de área de polígonos planos desde cero. La parte más difícil de su prueba (que el área existe) es demostrar que el área de un polígono no depende de la triangulación.

Para concluir: todo lo que necesitas son los axiomas de la geometría euclidiana (de Hilbert) (ya que, como observó Hilbert, el conjunto de axiomas de Euclides es incompleto). También necesitas una noción de números reales (que Euclides tampoco tenía), es decir, los axiomas de campo ordenado y el axioma de completitud.

Answer 2

Una forma muy práctica y natural de abordar el área es dar la siguiente definición:

El área de una figura plana es el número de formas unitarias necesarias para cubrirla por completo sin superponerse ni sobrepasar los bordes.

Normalmente tomamos la forma unitaria como un cuadrado de lado $1$. Es importante destacar que tenemos que asumir que el área está bien definida, en otras palabras, que no podríamos cubrir una figura exactamente con 9 cuadrados, y luego cubrir la misma figura exactamente con 12 cuadrados en una disposición diferente. Intuitivamente esto parece absurdo, y tenemos que aceptarlo como un axioma aquí. A partir de la definición, podemos ver de inmediato que el área de dos figuras combinadas pero disjuntas es la suma de las áreas de las figuras individuales.

Ya podemos probar la fórmula para el área de un cuadrado cuyos lados son de longitud entera cubriendo el cuadrado de la manera obvia, pero ¿qué sucede con longitudes fraccionarias? De hecho, para longitudes fraccionarias, es posible que el área no esté definida. Considera un cuadrado de lado $1/2$. No importa cuánto lo intentes, no podrás cubrirlo exactamente con cuadrados unitarios, por lo que según la definición anterior, en realidad no tiene un área.

Para simplificar, considera un rectángulo $R$ de dimensiones $1/2\times1$. ¿Cuál es su área? ¿$1/2$? ¿Por qué? Bueno, seguramente es la mitad... después de todo, $R$ simplemente es un cuadrado unitario cortado por la mitad... pero espera, ¿a qué te refieres con "cortado por la mitad"? Estamos yendo en círculos.

La solución es ir a una unidad de medida más pequeña, extendiendo la definición:

Si se necesitan $n$ copias de una forma para cubrir un cuadrado unitario, la forma tiene un área de $1/n$. Si una forma puede ser cubierta exactamente por cualquier cantidad de formas, su área es la suma de las áreas de esas formas.

Entonces, nuevamente, ¿cuál es el área de un cuadrado de lado $a/b$? Bueno, tal cuadrado se puede dividir en $a^2$ cuadraditos de lado $1/b$, y es obvio que puedes organizar $b^2$ de esos cuadraditos para cubrir un cuadrado unitario exactamente, por lo tanto, según la definición anterior, tal cuadrado tiene un lado de $1/b^2$. Por lo tanto, el área del cuadrado original es $a^2\cdot1/b^2.

Answer 3

No creo que se trate de axiomas. Se trata de definiciones. Por lo general, defines área en función del área de un cuadrado. Esto significa que debes tomar "lado al cuadrado" como la definición del área de un cuadrado.