Encontrar un subespacio cuyas intersecciones con otros subpaces son triviales.

Question

En la p.24 de la John M. Lee la Introducción a la Suave Colectores (2ª ed.)., construye la suave estructura de la Grassmannian. Y cuando él intenta mostrar Hausdorff condición, se dice que para cualquier 2 $k$-dimensiones de los subespacios $P_1$, $P_2$ de $\mathbb{R}^n$, siempre es posible encontrar una $(n-k)$-dimensiones subespacio cuya intersección con tanto $P_1$ $P_2$ son triviales.

Mi pregunta: creo que también es intuitivamente obvio que siempre podemos encontrar $(n-k)$-dimensiones subespacio cuya intersección con la m subespacios $P_1,\ldots,P_m$ son triviales, que es una forma más generalizada de la situación. Pero no puedo demostrarlo rigurosamente. Me podrían ayudar para esta generalizada caso?

Gracias.

Answer 1

Si $n=k$, $P_1=P_2=\mathbb{R}^n$ y usted puede tomar el subespacio cero. Por lo tanto, podemos asumir que hay un no-vector cero $e\in \mathbb{R}^n-P_1$.

Caso 1: $e\notin P_2$. Set $e_1:=e$.

Caso 2: $e\in P_2$. Encontrar $x\in P_1$ tal que $x\notin P_2$,$e+x\notin P_1$$e+x\notin P_2$. Set $e_1:=e+x$.

Está claro que $P_1\oplus \langle e_1\rangle$ $P_2\oplus \langle e_1 \rangle$ dos $k+1$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb{R}^n$. Si $P_1\oplus \langle e_1\rangle\neq \mathbb{R}^n$, usted puede repetir este proceso para estos dos subespacios para encontrar $e_2$.

Por inducción, encontrará $e_1,\cdots, e_{n-k}$, que son independientes y no pertenecen a $P_1$ o $P_2$. El subespacio generado por $e_1,\cdots, e_{n-k}$ es su respuesta.

Edit: con el fin De abordar la cuestión planteada por @GeorgesElencwajg , tenemos que tener en cuenta que no sólo se $e_1,\cdots,e_{n-k}$ son linealmente independientes, pero también el no-trivial de las combinaciones lineales de $e_1,\cdots,e_{n-k}$ pertenece a $P_i$$i=1,2$. Y esta afirmación puede ser fácilmente verificado con respecto a nuestra construcción.

Answer 2

Para $j=1,2,\ldots,m$, vamos a $B_j$ ser una base de $P_j$. Basta con encontrar un conjunto de vectores $S=\{v_1,v_2,\ldots,v_{n-k}\}$ tal que $S\cup B_j$ es un conjunto linealmente independiente de vectores para cada una de las $j$. Vamos a empezar con $S=\phi$ y poner vectores en $S$ uno por uno.

Supongamos $S$ ya contiene $i<n-k$ vectores. Ahora consideremos un vector $v_{i+1}=v_{i+1}(x)$ de la forma $(1,x,x^2,\ldots,x^{n-1})^T$. Para cada una de las $j$, hay en la mayoría de las $n-1$ diferentes valores de $x$ tal que $v_{i+1}(x)\in\operatorname{span}\left(\{v_1,v_2,\ldots,v_i\}\cup B_j\right)$, de lo contrario existiría un no invertible la matriz de Vandermonde que corresponde a los distintos nodos de interpolación. Por lo tanto, existen algunos $x$ tal que $v_{i+1}(x)\notin\operatorname{span}\left(\{v_1,v_2,\ldots,v_i\}\cup B_j\right)$ todos los $j$. Poner esto $v_{i+1}$ en $S$, $S\cup B_j$ es un conjunto linealmente independiente. Continúe de esta manera hasta que $S$ contiene $n-k$ vectores. El resultado $\operatorname{span}(S)$ es el subespacio deseamos.