Contraejemplos mínimos del problema de isomorfismo para anillos de grupos integrales

Question

El problema de isomorfismo para anillos de grupos integrales pregunta si dos grupos finitos $G,H$ son isomorfos cuando sus anillos de grupos integrales $\mathbb{Z}[G]$ , $\mathbb{Z}[H]$ son isomorfas. Se ha hecho mucho para resolver este problema y otros relacionados. Véase, por ejemplo, el capítulo 9 de Milies, Sehgal, "An Introduction to Group Rings". Ahora parece que el primer (¿?) contraejemplo ha sido encontrado por Martin Hertweck en su artículo de 2001 "A Counterexample to the Isomorphism Problem for Integral Group Rings". Ha construido dos contraejemplos, un grupo de orden $2^{25} \cdot 97^2$ y el otro grupo tiene $2^{21} \cdot 97^{28}$ . ¿Debemos realmente considerar grupos tan grandes? La tesis de Geoffrey Janssens discute la construcción de Hertweck en detalle, y afirma que éste es el único contraejemplo conocido. ¿Sigue siendo esto correcto?

Pregunta. ¿Qué se sabe sobre los contraejemplos mínimos del problema de isomorfismo para anillos de grupos integrales?

Answer 1

Creo que es correcto que el contraejemplo más pequeño conocido sigue siendo el par de grupos no isomorfos de orden de Hertweck $2^{21} \cdot 97^{28}$ .

Tenga en cuenta que el grupo de orden $2^{25} \cdot 97^2$ se utiliza en la construcción, pero no se conoce ningún par de grupos de ese orden que proporcione un contraejemplo.

Por supuesto, puede ocurrir que exista un contraejemplo más pequeño. Recuérdese, por ejemplo, la situación de la 2ª conjetura de Zassenhaus, de la que se conocen varios contraejemplos y el mínimo es 30 veces menor que el primero descubierto. Para dar una cuenta más detallada, los contraejemplos conocidos de la 2ª conjetura de Zassenhaus son:

• de orden 2880 - Roggenkamp & Scott, 1988

• de los pedidos 2880 y 6720 - Klingler, 1991

• de orden 1140 (metabeliano) - Hertweck, 2002

• Hertweck, 2003 - de pedidos: 180 (metabeliano), 360 (supersoluble), 72600 (Frobenius)

• de orden 96 (tres grupos) - Blanchard, 2001 (quien también verificó mediante GAP 3.4.4 que se trata de contraejemplos de orden mínimo posible)