Infinito radical. Cómo mostrar converge a tres?

Question

Recientemente he descubierto una nueva infinito radical con los no-constante (que significa que no son los mismos y no periódicas) de los coeficientes. Pero no tengo una estricta prueba de esta identidad... La identidad es

$$\sqrt[3]{23+\sqrt[3]{54+\sqrt[3]{972+\sqrt[3]{21870+\sqrt[3]{551124+\sqrt[3]{14526054+...}}}}}}=3.$$

Los números son (además de 23) $3^{2n+1}(3^{n-1}+1)$. Estoy interesado en cómo podemos estrictamente demostrar que el límite es de $3$.

Answer 1

Deje $a_0$ ser su anidada radical, y deje $a_n$ ser el radical que se inicia en el $n$-ésimo término en lugar de a $23$.

Cumplen una relación de recurrencia:

$$ a_0^3 - 23 = a_1 $$ $$ a_m^3 - 3^{2m+1}(3^{m-1} + 1) = a_{m+1} $$

Asumiendo $a_0 = 3$, el primer par de términos sería

• $a_1 = 4$
• $a_2 = 10$
• $a_3 = 28$
• $a_4 = 82$

De hecho, me conjetura $a_m = 3^m + 1$ si $m > 0$.

Deje $b_m = (a_m - 1)/3^m - 1$. A continuación, $a_m = 3^m (1+b_m) + 1$ y la recurrencia de la relación se convierte en

$$ (3^m (1+b_m) + 1)^3 - 3^{2m+1}(3^{m-1} + 1) = 3^{m+1} (1+b_{m+1}) + 1$$

que se simplifica a

$$ (3^{2m-1} (b_m^2 + 3b_m + 3) + 3^{m} (b_m + 2) + 1) b_m = b_{m+1}$$

Es claro que si

$$ \lim_{x \to \infty} b_m $$

existe, entonces tiene que ser igual a cero. Esto confirma que el$a_m = 3^m + 1$$m > 0$, y por último, que $a_0$ como se conjeturó.

Esto no prueba que el límite existe, aunque....

Answer 2

No muy seguro de lo que hay para "probar", realmente. Lo que usted escribió, básicamente, se reduce a:

$$3=\sqrt[3]{3^3}=\sqrt[3]{(3^3-4)+4}=\sqrt[3]{(3^3-4)+\sqrt[3]{4^3}}=\sqrt[3]{(3^3-4)+\sqrt[3]{(4^3-10)+10}}=\ldots,$$

donde a cada paso el término que se suman y se restan es de la forma $a_{n+1}=3\cdot a_n-2$. Desde $a_1$ $=4=3^1+1$, tenemos $a_n=3^n+1$, por ejemplo, $a_2=10=9+1=3^2+1$. Todo lo que queda por demostrar es que a cada paso del camino, para que el radical sentido, el resultado de la resta es positivo, es decir, $a_n^3-a_{n+1}>0\iff(3^n+1)^3-(3^{n+1}+1)>0\iff3^{3n}+3^{2n+1}>0$, lo que es cierto para todos los reales n.