Por supuesto, usted puede restaurar el original de la ecuación a partir de la relación de dispersión, al menos algunas veces. Pero creo que las ecuaciones de $k = -i\nabla$ no es correcto, porque $k$ es un número que el otro es un operador, se puede poner = entre ellos. Tenga cuidado cuando se abusa de la notación y sabe lo que está haciendo.
Pero estás en el camino correcto.
La primera condición de la ecuación debe obedecer es el principio de superposición. Que es la combinación lineal de las soluciones debe ser también una solución. Con el fin de hacer que usted necesita para llevar su ecuación en la forma como esta:
$$A\Psi = 0$$
en todo el dominio de $\Psi$ (ver por qué). No $A$ es una expresión que se evalúa a 0 y $\Psi(x, t)$ es la función de onda. $x$ es una coordenada espacial, $t$ es el tiempo.
La función de onda es una combinación lineal de primaria ondas planas que se puede expresar en la forma (y es una solución de la ecuación de onda en sí misma):
$$\Psi(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}$$
No $k$ es el número de onda $\omega$ es la frecuencia.
El segundo ingrediente es ver cómo esta función reaccionar a los operadores diferenciales.
Ecuaciones de onda por lo general contienen un operador Laplaciano. Desde que conecta los puntos en el espacio y permitir la alteración de propagación. Si usted diferenciar $\Psi$ con respecto al $x$ dos veces se obtiene:
$$\nabla^2 \Psi = -k^2\Psi$$
Y el tiempo de derivados será de la forma:
$$\partial_t^n \Psi = \left( -i \omega \right)^n \Psi$$
($\partial_t^n$ Es una abreviación de $\frac{\partial^n}{\partial t^n}$).
Ahora todo lo que necesitas hacer es combinar estas dos ecuaciones, sustituto de la relación de dispersión para $\omega$, y jugar con él hasta que el lado derecho es igual a cero. Una cosa importante que $k$ no debe aparecer en el lado izquierdo, de lo contrario, su ecuación será válido para un solo particular $k$ que obviamente no es lo que usted desea.
No existe un método estándar de cómo jugar con estas ecuaciones. Es un rompecabezas matemáticos que probablemente no siempre tiene una solución.
Mis ejemplos son en 1 dimensión, pero es sencillo generalizar a múltiples dimensiones.
Ejemplo
Considerar la luz que tiene una muy simple relación de dispersión:
$$\omega = ck$$
En ese caso el tiempo de los derivados:
$$\partial_t^n \Psi = \left( -i c k \right)^n \Psi$$
La segunda derivada se ve prometedor:
$$\partial_t^2 \Psi = -c^2 k^2 \Psi$$
La combinación de ellos en una ecuación:
$$\nabla^2 \Psi + \partial_t^2 \Psi = -k^2 \Psi - c^2 k^2 \Psi$$
Multiplicando la segunda vez que derivado de la con $-1/c^2$ obtenemos:
$$\nabla^2 \Psi - \frac{1}{c^2}\partial_t^2 \Psi = -k^2 \Psi + k^2 \Psi = 0$$
La reordenación acabamos de llegar a la ecuación de onda:
$$\partial_t^2 \Psi = c^2 \nabla^2 \Psi$$
Y lo mismo se puede hacer para obtener el Schrödinger o de Klein-Gordon ecuaciones, a partir de sus respectivos dispersión de relaciones.
