Mi pregunta está relacionada con la normalización de la reducción de las curvas algebraicas que no son necesariamente irreducible.
Deje $(A,\mathfrak{m})$ ser un local reducido noetherian anillo con la dimensión de Krull $1$, vamos a $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$ ser el mínimo de los números primos de $A$ y deje $S$ el subconjunto multiplicativo compone de elementos regulares de $A$, es decir,$S = A \setminus (\mathfrak{p}_1 \cup \cdots \cup \mathfrak{p}_n)$. ($S^{-1}A$ se llama el total de anillo de fracciones de $A$.) Es muy fácil probar que $A \subseteq S^{-1}A$ y $S^{-1}A \simeq k(\mathfrak{p}_1) \times \cdots \times k(\mathfrak{p}_n)$ como anillos. Es bastante obvio que $A_{\mathfrak{p}_i} = B_{\mathfrak{p}_i}$ donde $B$ es la integral de cierre de $A$$S^{-1}A$.
Mi pregunta es: cuando $A$ es integralmente cerrado en $S^{-1}A$? Más precisamente, tengo la sospecha de que la siguiente afirmación sostiene: Si $A$ es integralmente cerrado en su total anillo de fracciones, $A$ es un dominio, es decir, $A$ tiene sólo una mínima prime.
Se podría probar o refutar esta afirmación? Gracias a todos!
