Límite de una función: $ \lim_{x \to 0}\ (e^x + x)^ {\large \frac {1} {x}}$

Question

¿Cuál es el límite de la siguiente función formada por una expresión exponencial y algebraica? $$ \lim_{x \to 0}\ (e^x + x)^ {\large \frac {1} {x}}\;\;?$$

Answer 1

En primer lugar, toma el logaritmo y mira $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x + x)}{x}$ .

Aplicar la regla de L'Hopital para obtener $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{e^x + x} = 2$ .

Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{x \to 0}(e^x + x)^\frac{1}{x} = \exp(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x + x)}{x}) = \exp(2) = e^2$ .

Answer 2

Utilizando La regla de L'Hôpital , $$ \begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow 0} \left(e^x+x\right)^{1/x} &=& \exp\left\{\lim_{x \rightarrow 0} \ \ln \left[\left(e^x+x\right)^{1/x}\right]\right\} \\ &=& \exp\left[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(e^x+x\right)}{x}\right] \\ &=& \exp\left(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x+1}{e^x+x}\right) \\ &=& e^2 \end{eqnarray} $$

Answer 3

$$ \large \begin{align*} \lim_{x \to 0}\ (e^x + x)^ \frac {1} {x} &= e \; \lim_{x \to 0}\ \left (1 + \frac{x}{e^x} \right )^ {\frac {1} {x}}\\ &= e \; \lim_{x \to 0}\ \left (\left (1 + \frac{x}{e^x} \right )^ {\frac {1}{\frac x{e^x}}} \right)^{\frac{1}{e^x}}\\ &= e e = e^2\\ \end{align*} $$

Answer 4

Tenga en cuenta que cuando $\alpha(x)$ es tan pequeño cuando $x\to\infty$ entonces tenemos $$a^{\alpha(x)}-1\sim\alpha(x)\ln(a)$$ Utilice este hecho y establezca $a=e, \alpha(x)=x$ Así pues, el límite es el siguiente $e^2$ .

Answer 5

\begin {eqnarray} \lim_ {x \to 0} (e^x+x)^{ \frac {1}{x}} &=& \lim_ {x \to 0} e^{ \frac {1}{x} \ln (e^x + x)} \\ &=& \lim_ {x \to 0} e^{ \frac {1}{x} \ln (e^x(1 + xe^{-1}))} \\ &=& \lim_ {x \to 0} e^{ \frac {1}{x} \ln e^x} e^{ \frac {1}{x} \ln (1 + xe^{-x})} \\ &=& e \lim_ {x \to 0} e^{ \frac {1}{x} \ln (1 + xe^{-x})} \end {eqnarray} Desde $y \mapsto \ln(1+y)$ es diferenciable en cero, para cualquier $\epsilon>0$ Hay un $\delta>0$ de manera que si $|y|<\delta$ entonces $|\ln(1+y)-y|\leq \epsilon |y|$ . Esto da $|\ln (1 + xe^{-x})-x e^{-x}| \leq \epsilon |x| e^{-x}$ , o de forma equivalente, $|\frac{1}{x}\ln (1 + xe^{-x})-e^{-x}| \leq \epsilon e^{-x}$ de lo que se deduce que $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\ln (1 + xe^{-x}) = 1$ de la que obtenemos $\lim_{x \to 0} (e^x+x)^{\frac{1}{x}} = e^2$ .