Resumen - Hay $13$ plazas en el interior de la curva y $9$ de ellos son alineado al eje.
Parte I - cómo localizar el eje alineado a las plazas.
La siguiente es una foto que muestra a $5$ de la alineado al eje.
![5 squares inside a curve]()
Para localizar el eje alineado plazas, primero se definen dos funciones de auxiliar de $t \in [0,2\pi]$.
$$\begin{cases}
X(t) &= \cos(t) + \frac{\cos(3t)}{\sqrt{3}}\\
Y(t) &= \sin(t) + \frac{\sin(3t)}{\sqrt{3}}
\end{casos}$$
En términos de $X(t), Y(t)$, la curva original (en azul) está dada por la parametrización de la
$$[0,2\pi] \ni t \mapsto \gamma(t) = X(t) + iY(t) \in \mathbb{C}$$
A continuación, vamos a definir dos auxiliar curvas
$$
[0,2\pi] \ni t \mapsto
\begin{cases}
\gamma_1(t) = (X(t)+2Y(t)) + Y(t)i & \text{( light red )}\\
\gamma_2(t) = X(t) + (Y(t)+2X(t))i & \text{( light blue )}
\end{casos} \in \mathbb{C}
$$
$\gamma$ $\gamma_1$ se cruzan en el primer cuadrante ($\Re z, \Im z > 0$) en tres puntos.
Son los puntos de $A,B,C$ en el diagrama anterior. $\gamma$ $\gamma_2$ también
se cruzan en el primer cuadrante en tres puntos. Uno de ellos es $C$ y el otro
dos son los puntos de $D,E$ en el diagrama anterior.
A partir de estos $5$ de los puntos, se puede construir $5$ plazas cuyos vértices se encuentra completamente
en $\gamma$. Si usted reflejan las $4$ plazas que contengan $A, B, D, E$ como vértices
con respecto al origen, uno consigue $4$ más de plazas. Esto significa que hay $9$ eje alineado plazas cuyos vértices mentira en $\gamma$.
Resulta que esto agota todos alineado al eje plazas.
Parte II - cómo contar el número de cuadrados.
Para contar el número total de plazas, tratamos $p, q$ como dos variables de $[0, 2\pi]$. Para cada una de las $p,q$, considerar el cuadrado de $PUQV$ con vértices
$$\begin{array}{rl}
P = \gamma(p),& U = \frac{1+i}{2}\gamma(p) + \frac{1-i}{2}\gamma(q)\\
Q = \gamma(q),& V = \frac{1-i}{2}\gamma(p) + \frac{1+i}{2}\gamma(q)
\end{array}
$$
Como las funciones de $(p,q)$, $P(p,q)$ y $Q(p,q)$ siempre están en $\gamma$.
Si podemos averiguar los dos loci en $pq$-plano de $U(p,q)$ se encuentra en $\gamma$
y para $V(p,q)$ se encuentra en $\gamma$, la intersección de estos loci se
los parámetros de $(p,q)$ en la necesidad de construir una plaza de todos sus vértices mentira en
$\gamma$.
Para lograr esto, necesitamos un criterio simple para saber si un punto de $z = x+iy$ se encuentra en $\gamma$ o no
(o, al menos, una forma de filtrar la mayoría de los puntos que no se encuentran en $\gamma$). Resulta que hay uno:
Deje $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$, puntos en $\gamma$ están dados por la parametrización:
$$z = x + iy = e^{it}(1 + a e^{2it})$$
Tomando valor absoluto y cuadrado, obtenemos
$$z\bar{z} = 1 + 2a\cos 2t + a^2$$
Tomando la parte real y la plaza, obtenemos
$$\begin{align}a(z + \bar{z})^2
&= 4a(\cos t + a\cos 3t)^2 = 4a\cos\theta^2(1 + a(4\cos^2 t - 3))^2\\
&= (2a + 2a\cos 2t) ( 1 - a + 2a\cos 2t)^2\\
&= (z\bar{z} - (1-a)^2)(z\bar{z} - a(a+1))^2
\end{align}
$$
Sustituto $a$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ y simplificar, obtenemos
$$\Lambda(z) \stackrel{def}{=} \frac{1}{\sqrt{3}}(z^2+\bar{z}^2) - (z\bar{z})^3 + 2(z\bar{z})^2 + \frac{4}{27}
= 0$$
Esto significa $\gamma$ está contenida en el interior de la curva de hexic
$$\Lambda(x+iy) = \frac{2}{\sqrt{3}}(x^2 - y^2) - (x^2+y^2)^3 + 2(x^2+y^2)^2 + \frac{4}{27} = 0$$
En principio, podemos encontrar los parámetros deseados por
búsqueda de los dos loci en $(p,q) \in [0,2\pi]$
$$\Lambda(U(p,q)) = \Lambda\left(\frac{1+i}{2}\gamma(p) + \frac{1-me}{2}\gamma(p)\right) = 0\\
\Lambda(V(p,q)) = \Lambda\left(\frac{1-me}{2}\gamma(p) + \frac{1+i}{2}\gamma(p)\right) = 0
$$
y calcular las intersecciones. Excluyendo aquellos con $p = q$, estos son los parámetros para la construcción de las plazas que buscamos.
Parte III - el resultado.
Para entender lo que los dos loci parecer, escribí un programa para calcular los $\Lambda(U(p,q))$ $\Lambda(V(p,q))$ a como una especie de "mapa de calor". Este es el mapa de calor que obtengo:
![A heatmap of Lambdas]()
Por encima de mapa de calor de la cubierta del espacio de parámetro para $(p,q) \in [0,2\pi]^2$.
- Un punto rojo al $\Lambda(U(p,q))$ es cercana a cero.
- Un punto azul al $\Lambda(V(p,q))$ es cercana a cero.
Fuera de la diagonal $p = q$, el rojo y el azul "tiras" se cruzan en $56$ puntos.
Cuatro de ellos, por ejemplo el punto etiquetada por $X$, proviene de los dos puntos de intersección de $\gamma$, que no nos dan ningún plazas.
El resto de los $52$ intersecciones cae en $\frac{52}{4} = 13$ grupos.
Cada grupo nos da un cuadrado. Para cada grupo, he elegido a uno de los
miembro y con la etiqueta:
- Plazas $A, B, C, D, E$ contienen un vértice con el mismo nombre en la primera figura.
- Plazas $A', B', D' E'$ son imágenes de la plaza de $A, B, C, D$ bajo $z \to -z$.
- Plaza de $Y$ es de la no-eje alineado cuadrado con vértices en:
$$\begin{array}{lr}
(+1.191840337616712, &+0.8762580923680066),\\
(-0.1554901579762806, &+0.5869927399759873),\\
(+0.1337751944157387, &-0.7603377556170049),\\
(+1.481105690008731, &-0.4710724032249856)
\end{array}$$
- Plazas $Y', Z, Z'$ son la imagen de la plaza de $Y$ bajo $z \to -z$, $z \to \bar{z}$ y $z \to -\bar{z}$ respectivamente.
En resumen, si yo no cometí ningún error en el análisis por encima de mapa de calor, hay $13$ plazas en el interior de la curva. $9$ de ellos está alineado al eje, mientras que el restante $4$ no eje alineado.
