Encontrar todas las funciones reales, $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ la satisfacción de la relación $f(x^2+y(f(x)))=x(f(x+y))$.

Question

Mientras que hace algunos viejos INMO (Indian Nacional de la Olimpiada Matemática) problemas estoy atascado en una cuestión que es como sigue:

Encontrar todas las funciones $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ la satisfacción de la relación $f(x^2+y(f(x)))=x(f(x+y))$.

Aunque he trabajado en muchos problemas relacionados con funciones, pero todavía estoy perdido en esto. Estaré muy agradecido si me puede dar algunos consejos/suggetions. Gracias.

Answer 1

Reclamo: $f(x)=0$ o $f(x)=x$ todos los $x \in \mathbf{R}$.

1. Set$x=0$, $f(yf(0))=0$ por lo tanto $f\equiv 0$ es una solución. De lo contrario, $f$ no es constante y $f(0)=0$.

2. Set$y=0$, $f(x^2)=xf(x)$ todos los $x$. En particular, $x^2=(-x)^2$ por lo tanto $xf(x)=-xf(-x)$. Por lo tanto, $f$ es una función impar.

3. Supongamos que existe $x_0\neq 0$ tal que $f(x_0)=0$. Establecimiento $x=x_0$ tenemos $f(x_0^2)=x_0f(x_0+y)$; pero $f$ no es constante, por lo tanto es una contradicción.

4. Set$x+y=0$,$f(x^2-xf(x))=0$. Usando (2) y (3), tenemos $f(x^2-f(x^2))=0$ por lo tanto $x^2-f(x^2)=0$. Por lo tanto, $f(z)=z$ todos los $z\ge 0$. Usando ese $f$ es impar (2), a continuación, $f$ es la identidad.