¿por qué escalar proyección no produce coordenadas?

Question

Supongamos que tenemos una ordenó base $\{v_1,\dots,v_n\}$ en algunos producto interior en el espacio. Permítanos proyecto de un vector $v$ en cada una de las $v_i$ multiplicando $v_i$ por la "proyección escalar" $(v,v_i)/\|v_i\|$. Intuitivamente, parece que cada escalar proyección de $(v,v_i)/\|v_i\|$ indica la cantidad de $v$ que va en $v_i$ y por lo tanto el $i^{th}$ coordenadas de $v$ debe $(v,v_i)/\|v_i\|$. Pero eso no sucederá a menos que la base es ortogonal.

Matemáticamente puedo justificar esto, pero alguien puede dar una razón intuitiva en cuanto a lo que va mal. Por ejemplo, con $B=\{(1,0),(1,1)\}$ en el espacio Euclidiano $\mathbb R^2$ donde $v=(0,1)$?

Answer 1

En pocas palabras, el problema es que overcounting componentes del vector en la "superposición" de las direcciones. Estás tratando de descomponer el vector $w$ a $\sum\mathbf\pi_kw$ donde $\mathbf\pi_k$ es la proyección ortogonal sobre $v_k$. Si $v_i$ $v_j$ no son ortogonales, entonces $\mathbf\pi_jv_i\ne0$, por lo que si $\mathbf\pi_iw\ne0$, se hará un exceso de contribución a la proyección en $v_j$. Para decirlo de otra manera, si $v_i$ $v_j$ no son ortogonales, esto introduce un indeseable dependencia entre el $i$th y $j$th coordenadas de $w$: si queremos cambiar el $i$th coordinar, este exceso de contribución de $v_i$ $v_j$ dirección va a cambiar también el $j$th de coordenadas.

Con el fin de producir coordina con cada una de estas proyecciones que tienen para eliminar este "superposición" entre los no-ortogonal de vectores de la base, que es precisamente lo que las bacterias Gram-Schmidt proceso.

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Además: El fenómeno puede ser ilustrado en $\mathbb R^2$. Deje $v_1=(1,0)^T$$v_2=(1,1)^T$. Podemos ver en el diagrama de abajo, si sumamos las proyecciones ortogonales de a $w$ en estos dos vectores, que no terminan con $w$.

En este diagrama también se sugiere una forma de salvar nuestra descomposición a través de proyecciones. En lugar de proyectar ortogonalmente, proyecto paralelo a la otra base de vectores (indicado por el negro de las líneas de puntos). A continuación, obtener el familiar paralelogramo además diagrama que todos sabemos y el amor. Esto proporciona otra intuición de lo que está pasando: en un sentido, la proyección ortogonal va en la dirección equivocada.

También podemos ver en este diagrama exactamente lo que el exceso de contribuciones. Si $\mathbf\pi_1'$ $\mathbf\pi_2'$ están los dos en paralelo a las proyecciones, a continuación, $\mathbf\pi_2w$ es demasiado largo por exactamente $\mathbf\pi_2\mathbf\pi_1'w$, es decir, la proyección ortogonal de la real componente de $w$ $v_1$ dirección a $v_2$, y del mismo modo para $\mathbf\pi_1w$.

La característica más destacada de estos las proyecciones paralelas es que $\mathbf\pi_2'v_1=\mathbf\pi_1'v_2=0$. Esta propiedad puede ser extendido a más dimensiones de los espacios. En lugar de utilizar proyección ortogonal, queremos proyecciones tal que $\mathbf\pi_i'v_j=0$ al $i\ne j$ o, de manera equivalente, $\ker{\mathbf\pi_i'}=\operatorname{span}(B\setminus\{v_i\})$. La construcción de estas proyecciones es relativamente sencillo.

Answer 2

Creo que su intuición debe ser que hay una enorme diferencia entre "la porción de $v$ que apunta en la dirección de $v_1$" y "la porción de $v_1$ que es necesario para componer $v$". Usted puede ser portador de la intuición de que son los mismos de la ortogonales caso, pero en realidad no debe ser. Aquí están algunas de las razones por qué:

• $v_2$ también puede señalar de manera significativa en la dirección de la $v_1$, pero no tiene sentido incluir este en el coeficiente de $v_1$. E. g. considere la posibilidad de $v = 1v_1 + 1v_2$ y el punto de ambos lados con $v_1$.
• La porción de $v$ apuntando hacia la $v_1$ es una cantidad que depende exclusivamente de $v$$v_1$, pero la base de la representación de $v$ depende críticamente de todos los vectores de la base. No es razonable esperar que el anterior para ser capaz de decirle el último, ni siquiera aproximadamente.
• Fundamentalmente, lo que representa un vector en términos de una base es una inversión de problema (requiere la resolución de una ecuación de matriz). El proceso que se está proponiendo es, fundamentalmente, una multiplicación de proceso (vamos a simplificar para el caso de una base de vectores unitarios, y que, literalmente, es la multiplicación). Así, en términos muy generales, en un sentido abstracto que lo están haciendo al revés. Pero en el caso especial de la base ortogonal $B$ tenemos $B^{-1} = B^T$ así que realmente puede tomar la recíproca multiplicando. La falacia aquí es creer que uno puede, en el caso genérico calcular $B^{-1}$ sólo por reescalado $B$ algunos $\|B\|^2$: eso no es la forma de la matriz recíproca de trabajo.

Answer 3

Si tomamos una base $\{e_i\}_{i=1}^n$ (no ortonormales en general) en un espacio vectorial, cualquier vector $X$ puede ser expresada por una combinación lineal de los vectores de la base:

$$X=\sum_iX^ie_i$$

Los coeficientes de esta combinación lineal se llama contravariante componentes de $X$ respecto a la base, no.d. los componentes que, en un espacio Euclidiano, en el vector, si sumamos a ellos con la "ley del paralelogramo".

Por otro lado, existen otros componentes, denominados componentes covariantes, que son las proyecciones del vector $X$ a lo largo de las direcciones de los vectores de la base y se obtiene el producto escalar:

$$X_i=X\cdot e_i$$

Como puedes ver he usado $X^i$ para el contravariante componentes y $X_i$ para el covariante. Esta diferencia es relevante en un no-ortogonal sistema base, pero se vuelve irrelevante en un sistema ortogonal en la que los dos componentes coinciden.

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