La respuesta corta es "Los operadores que se encuentran en diagonal en la base de coherente estados son los que tienen un suave Glauber–Sudarshan P transformar".
El Wigner-Weyl transformar bellamente mapas de todos los tipos de operadores en el espacio de Hilbert (densidad de matrices o de lo contrario, coherente-estado-diagonal o no) a real de las funciones con valores en el espacio de fase. Sin embargo, esto no directamente nos dicen cuáles son diagonales, ya que todos los "buenos" de los operadores puede ser representada de esta forma. (Véase aquí para una breve discusión de la regularidad de las condiciones.)
Pero podríamos tomar un ingenuo puñalada en lo que un operador se vería como si se tratara de la diagonal en la base de coherente estados $\vert \alpha \rangle$ donde $\alpha = (x,p)$ es una variable que van sobre el espacio de fase. En primer lugar, observe que podemos escribir la posición del operador en la posición de base como
$$
\hat{X}=\int \mathrm{d}x \, x \vert x \rangle \langle x \vert.
$$
Así que, dado cualquier valor real (clásica) de la función de $f(\alpha)$ sobre el espacio de la fase (por ejemplo, posición, momento, o de la energía) considere el siguiente método de definición de un operador correspondiente:
$$
\hat{\Omega}[f] := \int \mathrm{d}\alpha\, f(\alpha) \vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert.
$$
(La integral de la derecha debe ser normalizada por un factor de $1/2 \pi$ pero me voy a hacer caso omiso de la normalización en todo lo que tengo que decir.) Intuitivamente, es un operador que actúa sobre un vector de estado por la "medición" en la wavepacket base y la ponderación de los componentes correspondientes por el valor de la función en ese punto en el espacio de fase. De hecho, uno puede comprobar que $\hat{\Omega}[X] = \hat{X}$ donde $X(\alpha) = X(x,p) = x$ es la función de posición en el espacio de fase.
Cómo se relaciona esto con la Wigner-Weyl transformar? Así, la transformación en W de $\hat{\Omega}[f]$ es
$$
\begin{align}
W\left[\hat{\Omega}[f]\right](x,p) &= \int \mathrm{d}\Delta x \, e^{i p \Delta x} \langle x + \frac{\Delta x}{2} \vert \hat{\Omega}[f] \vert x - \frac{\Delta x}{2} \rangle \\
&= \int \mathrm{d}\Delta x \int \mathrm{d}\alpha\, e^{i p \Delta x} f(\alpha) \langle x + \frac{\Delta x}{2} \vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert x - \frac{\Delta x}{2} \rangle.\\
&= \int \mathrm{d}\alpha\, e^{-\left[\alpha -(x,p)\right]^2} f(\alpha).\\
&= (f \circ g) (x,p)
\end{align}
$$
donde $\circ$ denota la convolución y $g(\alpha) = e^{-\alpha^2}$ es un núcleo Gaussiano. Otra forma de escribir esto es usar el teorema de convolución:
$$
\tilde{W}\left[\hat{\Omega}[f]\right](\xi) = \tilde{f}(\xi) \tilde{g}(\xi)
$$
donde $\tilde{\phantom{g}}$ denota la transformada de Fourier, lo que hace que $\tilde{g}(\xi) = e^{-\xi^2/4}$, donde e $\tilde{W}$ es la función característica asociada con $W$. [Generalmente el "simpléctica transformada de Fourier" se utiliza para la función característica, pero que difiere de los anteriores sólo por reparameterizing como $\xi=(\xi_1,\xi_2)\to(-\xi_2,\xi_1)$. Tenga en cuenta también que los factores como el 4 en $\tilde{g}(\xi) = e^{-\xi^2/4}$ depende de la elección de Fourier convención, y si $\hbar = 1/2,1,$ o $2$.]
Así, vemos que la W de transformación de una "diagonal" operador como $\hat{\Omega}[f]$ es sólo $f$ suavizada por una convolución con el núcleo Gaussiano $g$. Pero eso es exactamente lo que hace a $f$ la Glauber-Sudarshan P transformar de un operador $\hat{\Omega}[f]$. De hecho, la definición de $\hat{\Omega}[f]$ dada arriba es la misma que la definición de la ecuación de una P para transformar una matriz de densidad, sólo se generalizado a los operadores que no son necesariamente de la densidad de las matrices.
Ahora, todo liso operadores en el espacio de Hilbert tendrá W transforma asociados con ellos, pero no todos los W transforma pueden ser de-convoluciona con un suave P transformar. En particular, si nos movemos en el espacio de Fourier, de convolución es simplemente la multiplicación por $e^{+\xi^2/4}$ que, en general, va a producir una función en la que la inversa de la transformada de Fourier no converge. Hay maneras de tratar de construir un P transformar en este caso, pero son muy singular, que impliquen infinito derivados de funciones delta de Dirac. (Ver Wikipedia, las referencias a los mismos, y especialmente Bonifacio et al. y Sudarshan.)
