Dejemos que $M$ ser un verdadero $C^k$ -manifiesto, $\mathscr{H}_x$ sea el $\mathbb{R}$ -álgebra de gérmenes de $C^k$ -funciones diferenciables en $x \in M$ . Es fácil demostrar que $T_x M$ puede incrustarse en el espacio de las derivaciones de la forma $v: \mathscr{H}_x \to \mathbb{R}$ . En su libro sobre grupos de Lie y álgebras de Lie, Serre demuestra que, en el caso de las variedades analíticas, esta incrustación es efectivamente un isomorfismo de los espacios vectoriales.
Me dijeron que esto también es cierto en el caso de $C^\infty$ pero hay derivaciones que no son vectores tangentes cuando $k < \infty$ y la definición del espacio tangente (cf. aquí ) es bastante diferente, y estas definiciones sólo se muestran equivalentes cuando $k = \infty$ .
Así que mis preguntas son:
1) ¿Cuál es la forma correcta de definir el espacio tangente, después de todo? ¿Qué ocurre si intentamos utilizar ideales máximos cuando $k < \infty$ ? Una (oscurecida por la adición de $\mathbb{R}$ ) se da una explicación aquí .
2) ¿Puede usted por favor darme una explícito ejemplo de una derivación que no es un vector tangente? Hay una prueba de la existencia aquí pero no hay un ejemplo explícito.
Además, una pregunta más suave: ¿son $C^k$ -manifolds ( $k < \infty$ ) importante en la geometría diferencial o en la topología diferencial? Por ejemplo, en el libro de texto de Dubrovin-Novikov-Fomenko se demuestra el teorema de Sard para $C^\infty$ y no se mencionó el caso cuando $k < \infty$ Esto me lleva a creer que $C^\infty$ y $C^\omega$ son los únicos casos importantes en la topología diferencial. ¿Es esto realmente así?
