$\operatorname{Spec}(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C})$ tiene dos puntos de

Question

¿Por qué $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C})$ tiene dos puntos?

Sé que $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C})=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}),$ pero, entonces?

Answer 1

Tenemos $$\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}=\mathbb {R}[T]/(T^2+1)\otimes _\mathbb{R}\mathbb{C}=\mathbb C[T]/(T^2+1)=\mathbb C[T]/((T+i)(T-i))=\mathbb C\times \mathbb C$$ the last equality being, more precisely, the isomorphism of $\mathbb C$-algebras: $$\mathbb C[T]/((T+i)(T-i))\stackrel {\cong}{\to}\mathbb C\times \mathbb C: \text {class of} \:P(T) \mapsto (P(i),P(-i))$$ Se puede concluir por YACP del argumento.

Pero la visión correcta (= Grothendieck la visión) es que la extensión de $\mathbb C/\mathbb R$ es separable y así es diagonalized por $\mathbb C$ o, alternativamente, que el $\mathbb C/\mathbb R$ es de Galois que significa que diagonalizes sí mismo.
[Recordemos que un grado $n$ álgebra $A$ sobre el campo de $K$ se dice que diagonalized (o dividida) por la extensión de campo $\Omega /K$ si existe un isomorfismo de $\Omega$-álgebras $A\otimes_K\Omega \cong \Omega^n$ ]

Editar
Grothendieck la visión en este juguete ejemplo podría ser parafraseado como :
Desde $\mathbb C/\mathbb R$ es finito y separables (= étale) , $Spec(\mathbb C) \to Spec(\mathbb R)$ es una cubierta de espacio en el esquema de la teoría de la sensación, por lo que se ha trivializado por $Spec ( \mathbb C)$, que es un universal que cubre el espacio de $Spec(\mathbb R)$ porque $\mathbb C$ algebraica de cierre de $\mathbb R$.
Cómo maravillosamente topología ilumina la geometría algebraica en esta visión!