Un operador lineal sobre un espacio de Hilbert dimensional finito es continuo

Question

¿Cómo demuestro que una función lineal de un espacio de Hilbert $H$ a sí mismo es continua si $H$ es finito dimensional?

Además, ¿cuál sería un ejemplo de una función lineal de un espacio de Hilbert a sí mismo que no es continuo?

Answer 1

Un poco más general:

Deje $\ T \,\colon X \to Y\:$ ser un operador lineal entre dos normativa espacios vectoriales, donde $X$ debe ser finito dimensionales. A continuación, cada lineal mapa es continua.

Prueba: Definir el "gráfico de la norma" inducido por $T$.

$\lVert x\rVert_T :=\lVert x\rVert_X + \lVert Tx\rVert_Y $. Esta es una norma. Ahora uso el hecho de que, en un número finito de dimensiones de espacio vectorial cada dos normas son equivalentes. Así que debe de ser una constante a lo $\lambda $ tal que $\lVert x\rVert_T \le \lambda \lVert x\rVert_X $.

Claramente la siguiente desigualdad se cumple: $$\lVert Tx\rVert_Y \le \lVert x\rVert_T. $$

Combinar estos dos hechos, es obvio que $ T $ es limitado y por lo tanto, como Yuan Qiaochu dijo, $T$ debe ser continua.

Espero que considera todas las reglas y convenciones en este foro, ya que esta es mi primera respuesta. Si no, lo siento mucho.

saludos

matemáticas

Answer 2

El modo intuitivo (como se sugiere por GEdgar):

Desde $X$ es finito dimensional, hay un número finito de base $ u_1, \ldots , u_n$$X$. El uso de las bacterias Gram-Schmidt orthonormalisation el proceso, puede utilizar esta base para la construcción de una base ortonormales $ v_1,\ldots , v_n$$X$.

Ahora, si $x$ es cualquier vector unitario en $X$, $x$ puede ser escrito como $\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i $, para algunas de las $ \lambda_i \in \mathbb{R}$ satisfacción $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \vert \lambda_i \vert = 1$.

Pero entonces, \begin{align*} \| Tx \|&= \lVert\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \ T v_i \rVert \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} | \lambda_i | \ \| T v_i \| \\ &\leq \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \right) \cdot \max_{1 \leq i \leq n} \| T v_i \| \\ &= \max_{1 \leq i \leq n} \| T v_i \| < + \infty. \end{align*}

A partir de esta desigualdad, vemos que, efectivamente, T debe estar acotada (es decir, contiunuous) con $\displaystyle \| T \| \leq \max_{1 \leq i \leq n} \| T v_i \| $ (de hecho, debemos tener igualdad desde la $ v_i $ son también admisibles vectores unitarios!)

Saludos cordiales,

Benno Handsma

Answer 3

Otra manera: elegir una base, entonces la transformación lineal viene dada por una matriz. Compruebe que las fórmulas para la transformación en términos de la matriz son continuas.

Answer 4

Aquí está otra solución similar:

Que $\beta = \{e_1, e_2, \dots, e_n \}$ sea una base para $X$. Tendremos para todos $x$ $X$: $$\|Tx\| = \| \sum_{k=1}^n{\alpha_k Te_k}\| \le \sum_{k=1}^n{\| \alpha_kTe_k\|}=\sum_{k=1}^n{\vert \alpha_k \vert \ \| Te_k\|} $ $

Que $\displaystyle \max_{1 \leq k \leq n} \| T e_k \| = M.$ % entonces $\|Tx\| \le M \sum_{k=1}^n{\vert \alpha_k \vert}$.

Pero $\| x\|_1 = \sum_{k=1}^n{\vert \alpha_k \vert}$ es una norma que como puede ver. Así $\|Tx\| \le M \|x\|_1$ y puesto que todas las normas en un espacio dimensional finito son equivalentes existe $R >0$ tal que $\|x\|_1 \le R\|x\|$ y $$\|Tx\| \le C \|x\|$$ where $c# = M.R$.