Curvatura media total en $L^2$ y superficies mínimas en espacios con curvatura seccional no positiva

Question

Supongamos que tenemos una de Riemann $n$-colector $(N,g)$ y un inmersos superficie $f:\Sigma\rightarrow N$, con género de cero, equipado con la inducida por la métrica. Supongamos además que el espacio ambiental tiene un no positivo de la sección transversal de la curvatura.

Si $f$ es mínima, es decir, $$\vec{H} = 0$$ donde $\vec{H}$ es la media del vector curvatura de $f$ (con respecto a la inducida por la métrica $f^*g$), $f$ no está cerrado. (La única prueba de que sé que de este hecho se utiliza el principio del máximo. Una prueba geométrica sería bueno, si alguien tiene una referencia. Tal vez el uso de Cartan-Hadamard?)

Claramente entonces, para $f$ cerrado con género cero, una desigualdad de la forma $$\int_\Sigma |\vec{H}|^2d\mu > c_g > 0$$ debe mantener, para algunos $c_g$, dependiendo únicamente de la $(N,g)$.

Mi pregunta es: ¿cuáles son los valores conocidos de $c_g$?

Answer 1

Podemos seguir la derivación de la Willmore energía obligado por género, 0 superficies en $\mathbb{R}^3$.

Por la ecuación de Gauss tenemos que, dejando $e_1, e_2$ denotar un ortonormales marco de $T\Sigma$, $K$ ser la curvatura seccional operador de la temperatura del colector, $S$ ser inducida por el escalar de curvatura de $\Sigma$, e $II$ ser la segunda forma fundamental (utilizando ese $H = \frac{1}{n} \mathrm{tr} II$ para submanifolds de dimensión $n$)

$$2 K(e_1,e_2) = S + \sum_{i,j = 1,2} |II(e_i,e_j)|^2 - 4|H|^2$$

Ahora, podemos escribir $II$ en su traza y seguimiento partes:

$$II(v,w) = H g_\Sigma(v,w) + \tilde{II}(v,w)$$

vemos que la doble traza $||II||^2$ puede ser ampliada como $2 |H|^2 + \sum |\tilde{II}(e_i,e_j)|^2$. Por lo tanto, de la ecuación de Gauss se deriva que

$$2 K(e_1,e_2) = S + \sum_{i,j = 1,2} |\tilde{II}(e_i,e_j)|^2 - 2|H|^2$$

lo que implica, el uso de no-positivo de la sección transversal de la curvatura de la que

$$2|H|^2 - S \geq 0$$

Esto implica que la energía Willmore

$$W[\Sigma; N,g] = \int_\Sigma (|H|^2 - S/2) \mathrm{d}\mu \geq 0$$

Así que por Gauss-Bonnet (por género, 0) tenemos que

$$\int_{\Sigma} |H|^2 \mathrm{d}\mu \geq 4\pi$$

exactamente de la misma manera como en el caso de que el espacio ambiente es la Euclídea. Además, podemos ver que la distancia Euclídea obligado es "óptimo" en el siguiente sentido (utilizando ese $K \leq 0$):

$$W[\Sigma; N,g] = 0 \iff K(e_1,e_2) = 0 \text{ and } \tilde{II} = 0$$

esto implica que $\Sigma$ es central y "local" (en un muy infinitesimal sentido) de la esfera se parece a la redonda y en el ambiente del espacio se ve como la distancia Euclídea.

Además, afirmo que esta obligado es la mejor posible! Mediante el uso de la "invariancia conforme" (por supuesto, si el espacio ambiente no tiene una escala de simetría, esto es un problema, pero tengan paciencia conmigo, por un momento aquí), podemos ver que en la distancia Euclídea caso de ronda todos los ámbitos son iguales para el propósito de Willmore de energía. Ahora considere la posibilidad de la no-positivamente caso de curvas. El exceso de la $4\pi$ unido es $$\int_{\Sigma} |\tilde{II}|^2 - 2K ~\mathrm{d}\mu$$ Ahora consideremos un punto de $p\in N$ y deje $\Sigma_{p,r}$ ser la imagen en el mapa exponencial de una ronda esfera en $T_pM$ radio $r$. Como $r\to 0$ tenemos que el volumen total va a $0$ y, por tanto, la curvatura seccional integral también se desvanece. Un local de computación (si no recuerdo mal), muestra que $r\to 0$, tenemos que el seguimiento de la parte de $II$ (que es $H$) escalas como $O(r^{-1})$, mientras que la traza de la parte libre de $II$ escalas como $o(r^{-1})$ (uno puede comprobar en geodésica normal coordenadas); esto captura el hecho de que cada una de Riemann colector, en una lo suficientemente pequeña escala, se ve como el espacio Euclidiano. Por lo tanto necesariamente como $r\to 0$ tenemos que el exceso llega a 0, por lo que el obligado a $c_g = 4\pi$ es fuerte.

Por último, tomamos nota de que a partir de la discusión anterior, si usted tiene un estricto seccionales de la curvatura de la enlazado $K < c < 0$, luego minimisers de Willmore energía no puede existir, porque el "punto" es el real minimiser.