¿Cómo factorizar $5$ $\mathbb{Z}[\root 3 \of 2]$?

Question

$5$ Tiene una norma de $125$ en este dominio y $N(1 + (\root 3 \of 2)^2) = 5$, parece una razonable proposición que $5 = (1 + (\root 3 \of 2)^2) \pi_2 \pi_3$, donde $\pi_2, \pi_3$ son dos otros números en este campo tener normas de $5$ o $-5$. ¿Esto se supone que es un dominio de factorización única, correcto?

Me siento alentado por el hecho de que % $ $$N\left(\frac{5}{1 + (\root 3 \of 2)^2}\right) = N(1 + 2 \root 3 \of 2 - (\root 3 \of 2)^2) = 25.$

Pero yo estoy desanimado por el hecho de que $$\frac{5}{(-1 - (\root 3 \of 2)^2)(1 + (\root 3 \of 2)^2)} = \frac{7 - 6 \root 3 \of 2 - 2 (\root 3 \of 2)^2}{5}$$ is an algebraic number but not an algebraic integer. I have found a couple of other numbers with norms of $5 $ or $5 #%-5_% #% $ en cualquiera de las combinaciones de tres de los que he probado. Siento que voy en círculos.

Answer 1

Tenemos

$$ \mathbf Z[\sqrt[3]{2}]/(5) \cong \mathbf Z[x]/(x^3 - 2, 5) \cong \mathbf Z_5[x]/(x^3 - 2) \cong \mathbf Z_5[x]/(x+2) \times \mathbf Z_5[x]/(x^2 + 3x + 4) $$

de modo que el ideal de $ (5) $ factores $ (5) = \mathfrak p_1 \mathfrak p_2 $. Para encontrar los ideales $ \mathfrak p_1 $$ \mathfrak p_2 $, se nota que le corresponden a la máxima ideales en el anillo de $ \mathbf Z_5[x]/(x^3 - 2) $. Por tanto, tenemos la siguiente factorización:

$$ (5) = (\sqrt[3]{2} + 2, 5)(\sqrt[3]{4} + 3 \sqrt[3]{2} + 4, 5) $$

Desde el anillo de $ \mathbf Z[\sqrt[3]{2}] $ es un director ideal de dominio, estos ideales son principalmente generado por los elementos principales de la norma $ 5 $$ 25 $, respectivamente. Algunos fáciles de ensayo y error con la mano con la norma de forma de los rendimientos que el primer ideal generado por a $ 2\sqrt[3]{4} - 3 $, y la división de $ 5 $ por este número que finalmente da la factorización

$$ 5 = (2\sqrt[3]{4} - 3)(6 \sqrt[3]{4} + 8 \sqrt[3]{2} + 9) $$

Aquí más detalles sobre el juicio y error de parte: sabemos que $ \mathfrak p_1 $ es un primer ideal de norma $ 5 $, y sabemos que $ (5) = \mathfrak p_1 \mathfrak p_2 $. Desde cualquier número con la norma $ 5 $ genera un alojamiento ideal, se puede concluir, por única factorización de ideales que cualquier elemento tendría que generar $ \mathfrak p_1 $. Después de eso, sólo hemos de buscar soluciones a la ecuación de $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 - 6xyz = 5 $ (la norma), y es fácil ver que $ x = -3 $ $ z = 2 $ hacer el truco.

Tenga en cuenta que la factorización de que usted está pidiendo es imposible: el primer $ 5 $ no es un factor como el producto de los tres primeros ideales, sino como dos.

Answer 2

Esta respuesta es un intento de utilizar el número de $1+\sqrt[3]{4}$ OP hizo.

Como lo demuestran @lluvia de estrellas, el primer $5$ factores como producto de dos números primos. Con la ayuda de SAGE, el primer factores como $$ 5 = (1+\sqrt[3]{4})(1+2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4}). $$ Uno podría preguntarse por qué los factores que parecen diferentes a los de @lluvia de estrellas de la respuesta. De hecho, hemos $$ 2\sqrt[3]{4} -3 = (1+\sqrt[3]{4})/(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})^2, $$ con $1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ ser una unidad fundamental (es decir, un generador de la parte libre de grupo de la unidad) en $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$. Como $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ es un PID, es también un UFD. Esto significa que cada primer ideal es generada por un primer elemento en el ring. Así, los factores de $1+\sqrt[3]{4}$ $1+2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4}$ son los principales elementos en $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$.