Sistemas no integrables

Question

Los sistemas integrables son sistemas que tienen $2n-1$ cantidades conservadas independientes del tiempo y de la función (n es el número de grados de libertad), o n cuyos paréntesis de Poisson entre sí son cero.

A mi modo de ver, estas condiciones corresponden directamente a que podamos hacer la transformación Hamilton-Jacobi, lo que equivale más o menos a decir que la $2n-1$ las cantidades conservadas son las condiciones iniciales del problema, lo que en sí mismo es una forma de decir que el mapa de la posición del espacio de fase en algún momento $t_0$ a eso en el tiempo $t$ es invertible. Pero, si la última afirmación es correcta, ¿por qué hay sistemas que no son en absoluto integrables? ¿No deberían las trayectorias de todos los sistemas estar determinadas únicamente por las ecuaciones de movimiento y las condiciones iniciales? ¿O es que todos los sistemas no integrables son aquellos cuyos Lagrangios no pueden ser escritos (restricciones no holonómicas, fricción, etc.)?

He oído que Poincare demostró que el problema de los tres cuerpos gravitatorios en dos dimensiones no era integrable, pero demostró que había muy pocos analítica cantidades conservadas. No sé exactamente por qué eso significa no integrabilidad, así que si alguien pudiera ayudarme allí, eso también sería genial.

Answer 1

Puedes usar un simple divisor de resistencia para reducir el 0..13 V a 0..5 V.

\$V_{out} = \dfrac {R_2}{R_1 + R_2} \cdot V_{in}\$

de modo que para \$R_1\$ = 16 kΩ y \$R_2\$ = 10 kΩ tienes 0..5 V fuera por 0..13 V dentro.

Esa es la solución más simple, pero mapeará los 10..13 V a 3.85..5 V en vez de a 0..5 V. La pregunta es: ¿realmente necesita el rango completo del CAD? Un disco duro de 10 bits le da una resolución de 13 mV para un rango de entrada de 13 V. ¿Realmente quieres saber el voltaje de la batería con una precisión de 3 mV?

De todos modos, si quieres usar la gama completa de la CAD, la solución es una amplificador de diferencia que resta un desfase de 10 V al voltaje de entrada:

si \$R_1 = R_2\$ y \$R_f = R_g\$ entonces

\$ V_{out} = \dfrac {R_f}{R_1} \cdot (V_2 -V_1) \$

Aplicas un voltaje de referencia de 10 V a \$V_1\$ y conectar la batería a \$V_2\$ . Seleccione 25 kΩ para \$R_f\$ y \$R_g\$ y 15 kΩ para \$R_1\$ y \$R_2\$ y tendrás 0..5 V fuera por 10..13 V dentro.

Para usar el rango completo hasta 0 V de salida necesitarás un RRIO (Rail-to-Rail I/O) opamp.

Nota:
No puedes usar la solución del optoacoplador de la pregunta a la que me refiero aquí ya que eso es sólo digital. Satura la salida si el voltaje de entrada está presente, y no es de ninguna manera lineal. Si quieres que la entrada esté aislada de la salida puedes usar un optoacoplador lineal como el IL300 al que me refiero en esta respuesta .

Answer 2

La integrabilidad completa es mucho más fuerte que la solución del problema del valor inicial.

La completa integrabilidad implica la ausencia de órbitas caóticas. Más precisamente, todas las órbitas delimitadas son cuasiperiódicas, yacen sobre toros invariables. Las perturbadoras de un sistema completamente integrable sólo conservan algunos de estos tori; este es el teorema KAM. http://en.wikipedia.org/wiki/KAM_theorem

El problema de los tres cuerpos puede tener órbitas caóticas, por lo que no es completamente integrable. Pero es fácil escribir su Lagrangiano.

Answer 3

La ecuación G-H describe el efecto de T sobre $ \Delta G$ a presión constante . Pero, a lo largo del contorno de fusión de T vs P, T es una función única de P. Así que, a lo largo de este contorno, P está cambiando. Así que la ecuación G-H no es válida para usarla para un cambio de fase como la fusión. La ecuación G-H fue desarrollada para describir el efecto de T sobre $ \Delta G$ para las reacciones químicas a presión constante, generalmente para el cambio de reactivos puros separados a productos puros separados a la presión estándar de 1 bar.

Answer 4

No es una respuesta completa, pero me pareció un hecho lo suficientemente interesante como para publicarlo aquí.

Incluso si, como dices, "el mapa de la posición de la fase espacial en algún momento $t_0$ a eso en el tiempo $t$ es invertible", el sistema puede seguir siendo caótico. Un ejemplo de esto es el Mapa de Hénon ,

$x_{n+1} = 1 - ax_n^2 + y_n$

$y_{n+1} = b x_n$

que para ciertos valores de los parámetros (por ejemplo, $a=1.4$ , $b=0.3$ ) es caótico, y sin embargo (excepto cuando $b=0$ ) es invertible:

$x_n = \frac {y_{n+1}}{b}$

$y_n = \frac {y_{n+1}}{b} - 1 - \frac {a}{b^2}y_{n+1}$ .