Resolver $k\in\mathbb{Z}$ tal que $f\left(\frac{2\pi}{1999}\right)=\frac{1}{2^k}$ donde $f(x)=\prod_{n=1}^{999}\cos(nx)$.

Question

$f(x)$ está definido de tal forma que: $$f(x)=\prod_{n=1}^{999}\cos(nx)$$

Dado que resolver para $k$ (integer):

$$f\left(\frac{2\pi}{1999}\right)=\frac{1}{2^k}$$

He intentado muchos métodos diferentes, incluyendo la fórmula de euler, identidades trigonométricas y expresar cada coseno en términos de $\cos x$ mediante el uso de De Moivre del teorema. Entonces traté de multiplicar estos polinomios de poderes del coseno y he llegado a algunos resultados interesantes. Por ejemplo, el primer término de potencia se $\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!2!}$ y su coeficiente de - $a$ - se $\dfrac{n!}{(n-2)!2!}$ con el término en sí mismo $a\cos^n(x)$. A continuación, los poderes son, en orden descendente, cada potencia igual a la anterior, menos 2. Yo no era capaz de encontrar una regla para los coeficientes excepto el primero y el último, a pesar de que siempre están en la forma de los coeficientes binomiales o la suma de ellas, de tal forma que la máxima potencia elige 2 o 3 o a otro número. Después de algunos términos que siempre se hizo muy engorroso por lo que no podía continuar resolviendo de esa manera solo con lápiz y papel.

Todo lo que no me llevan ni siquiera cerca de la solución de la ecuación. Lo resuelto numéricamente utilizando Java de la aplicación y la respuesta fue $k=999$ si no recuerdo mal.

Es allí cualquier manera de resolver algebraicamente?

Answer 1

Desde $ z ^ 2-2\cos\left(\frac{2k\pi}{1999}\right) z + 1 = \left(z-e^{i\frac{2k\pi}{1999}}\right)\left(z-e^{-i\frac{2k\pi}{1999}}\right)\tag {1} $$ después multiplicando ambos lados de $(1)$ $k=1$ $999$ y multiplicando por $z-1$, entonces fijamos $z=i$. Esto rinde $$\begin{align} \overbrace{\ \ (i-1)\ \ \vphantom{\prod_{k=1}^{999}}}^{z-1}\overbrace{(-2i)^{999}\prod_{k=1}^{999}\cos\left(\frac{2k\pi}{1999}\right)}^{\text{product for %#%#% to %#%#%}} &=\overbrace{\left.\prod_{j=-999}^{999}\left(z-e^{i\frac{2j\pi}{1999}}\right)\right|_{z=i}}^{\text{%#%#%product for %#%#% to %#%#%}}\\ &=\left.z^{1999}-1\right|_{z=i}\\[9pt] &=-i-1\tag{2} \end {Alinee el} $$ por lo tanto, resolver $k=1$ para el producto que queremos $$\begin{align} \prod_{k=1}^{999}\cos\left(\frac{2k\pi}{1999}\right) &=\frac{-i-1}{i-1}\frac{i^{999}}{2^{999}}\\ &=\frac1{2^{999}}\tag{3} \end {Alinee el} $$