Variante de la aproximación fuerte.

Question

Que $K$ ser un campo global. Que $w$ sea un lugar de $K$. Sea $\textbf{A}^w$ restringido producto directo sobre todas las $v$ excepto $w$ $K_v$ con respecto a lo subgrupos $\mathcal{O}_v$. ¿Cómo ver que la imagen diagonal de $K^\times \to \textbf{A}^w$ es densa?

Answer 1

Deje $K$ ser un campo global con un lugar destacado $w$.

Deje $\mathbb{A}^w$ ser el producto directo restringido de todas las $K_{v\ne w}$ con respecto a los subgrupos $\mathcal{O}_v$ siempre $v$ es nonarchimedean; tenga en cuenta que estos son subconjuntos abiertos de $K_v$, así que todo está bien definida. A continuación, $\mathbb{A}^w$ es la unión de$$\prod_{v\in S} K_v \prod_{v'\notin S\sqcup\{w\}} \mathcal{O}_{v'}$$over all finite sets $S$ of places not containing $w$.

Fijar un punto de $\textbf{a} = (a_v)_{v\ne w} \in \mathbb{A}^w$, y deje $S_0$ ser el conjunto finito de nonarchimedean lugares $v\ne w$ donde $|a_v|_v > 1$. Para establecer la densidad de la imagen de la diagonal de a $K^\times \hookrightarrow \mathbb{A}^w$, tenemos que mostrar que cada conjunto abierto $U$ $\mathbb{A}^w$ contiene $\textbf{a}$ contiene algunos $x\in K^\times \hookrightarrow \mathbb{A}^w$.

Hacemos esto por el fuerte teorema de aproximación (ver aquí): vamos a $U$ ser un conjunto abierto que contiene a $\textbf{a}$; podemos, sin pérdida de generalidad, supongamos $U$ se encuentra en la forma habitual, es decir, para algunas conjunto finito $T$ de las plazas $v\ne w$ y abrir conjuntos de $U_v\subseteq K_v$ estos $v\in T$, tenemos$$U = \prod_{v\in T} U_v \prod_{v'\notin T\sqcup\{w\}} \mathcal{O}_{v'}.$$By default we are, without loss of generality, putting all finitely many archimedean places in $T$. Since $\textbf{un}\U$, we must have $S_0 \subseteq T$, so that $a_v \en U_v$ for each $v\T$ and $a_{v}\in \mathcal{S}_{v'}$ for each $v'\noen T\sqcup\{w\}$.

Fix $\epsilon>0$. Para cada lugar de $v\ne w$, la densidad de uso de $K\hookrightarrow K_v$ encontrar $a_{v,n}\in K$$|a_{v,n} - a_v|_v < \epsilon$. Por una fuerte aproximación, tome $x \in K$ tal que $|x - a_{v,n}|_v < \epsilon$ todos los $v\in T$ $|x|_v \le 1$ todos los $v\notin T\sqcup\{w\}$; el ajuste por un poco - de nuevo con una fuerte aproximación, siendo posiblemente un poco más de cuidado en los lugares de arquímedes - si es necesario, podemos suponer que $x \ne 0$, lo $x \in K^\times$.

A continuación, $|x - a_v|_v < 2\epsilon$ todos los $v\in T$ $|x|_{v'}\le 1$ todos los $v'\notin T\sqcup\{w\}$, los cuales son nonarchimedean por definición de $T$, automáticamente da $x\in \mathcal{O}_{v'}$. Puesto que el $U_v$ están abiertas para $v\in T$, podemos tomar la $\epsilon>0$ lo suficientemente pequeño como para que $|x - a_v|_v < 2\epsilon$ garantiza $x\in U_v$ todos los $v\in T$.

Por lo $x\in K^\times\hookrightarrow \mathbb{A}^w$ mapas en diagonal como un elemento de $$\prod_{v\in T} U_v \prod_{v'\notin T\sqcup\{w\}} \mathcal{O}_{v'} = U,$$como se desee.