Pregunta sobre las formas cuadráticas

Question

Conozco un teorema que dice:

Si una forma cuadrática no singular (polinomios homogéneos de grado $2$ ) sobre un campo $K$ representa el cero de forma no trivial (es decir, existe una solución no trivial de la ecuación $F=0$ ), entonces representa todos los elementos no nulos del campo $K$ .

Una forma cuadrática $F$ se dice que representa $a$ (en $K$ ) si existe $x_1,x_2,\dots,x_n$ tal que $F(x_1,x_2,\dots,x_n)= a$ .

Mi pregunta es si la inversa del teorema es cierta cuando char $K=0$ .

Cuando $K$ es un campo finito de orden $3$ entonces $X^2+Y^2$ contradice la inversa del teorema.

Answer 1

Puede tomar $x^2$ en $\mathbb{C}$ .

Answer 2

campo es $\mathbb Q,$ forma es $$ w^2 - 2 x^2 + 3 y^2 - 6 z^2. $$

Antecedentes. Este es el teorema 19 de la página 53 de Burton W. Jones, La teoría aritmética de las formas cuadráticas. Tablas e instrucciones de cálculo algo mejores en J.W.S. Cassels, Formas cuadráticas racionales , páginas 55-60, tablas páginas 43-44.

Resulta que esta forma es universal sobre los enteros con valores enteros de las variables, lo cual es un resultado extra sobre las cosas de Hasse-Minkowski sobre los racionales.

Se requieren muchos detalles para todas las afirmaciones excepto una: la forma es anisotrópica en $\mathbb Q$ porque es anisotrópica en los números 3-ádicos, y basta con considerar los enteros racionales.

EJERCICIO. Si $$ w^2 - 2 x^2 + 3 y^2 - 6 z^2 \equiv 0 \pmod 9, $$ entonces $$ w,x,y,z \equiv 0 \pmod 3. $$

EEDDDIIITTTT, 26 de junio. El hecho de que, si $w^2 - 2 x^2 + 3 y^2 - 6 z^2$ representa integralmente dos números, también representa integralmente su producto, es un ejercicio de multiplicación de cuaterniones (con coeficientes evidentes). El hecho de que $w^2 - 2 x^2 + 3 y^2$ representa integralmente todos los primos positivos se deduce de las secciones evidentes $w^2 + y^2 $ cuando $x=y,$ y $w^2 - 2 x^2$ cuando $z=0.$ Para los primos $q\equiv 3 \pmod 8,$ necesitamos material del libro de Dickson de 1939, donde prefiere escribirlo como $$ w^2 - 2 (-x-3y)^2 + 3 (y+2z)^2 = w^2 + x^2 - 6 y^2. $$

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