Thoerem de extensión para el espacio de Sobolev $W^{1, \infty}(U)$

Question

Estoy tratando de encontrar la forma de ampliación de funciones en el espacio de Sobolev $W^{1, \infty}(U)$ $W^{1, \infty}(\mathbb{R}^n)$ $U\subset\mathbb{R}^{n}$ Dónde está abierto tal que $U\subset\subset V$ $V\subset\mathbb{R}^{n}$ también abierto y acotado. Además, asumir es de $\partial U$ $C^1$.

Answer 1

Yo no estoy familiarizado con el Whitney extensión del teorema, etc. pero tal vez la siguiente prueba va a hacer?

Fix $x^0\in\partial U$. Supongamos por ahora que para algunos balón $B=B(x^0, r)$$x^0$, el límite se enderezó, de tal manera que $B\cap U\subset \mathbb{R}_{+}^n$. Deje $B^+=\{x\in B\ \mid \ x_n\geq 0\}$$B^-=\{x\in B\ \mid \ x_n\leq 0\}$. Definir \begin{equation} \bar{u}(x)\equiv\left\{ \begin{array}{l l} u(x', x_n)&\quad x\in B^+\\ u(x', -x_n)&\quad x\in B^-. \end{array}\right. \end{equation} Deje $u^+=\bar{u}|_{B^+}$$u^-=\bar{u}|_{B^-}$. En $\{x_n=0\}$ se observa que el $u^+=u^-$. Desde $u\in L_{\text{loc}}^1(U)$ podemos deducir que $\bar{u}\in L_{\text{loc}}^1(B)$. Podemos ahora afirmar que el débil derivado de la $\bar{u}$ es \begin{equation}%\label{eq: dve} D\bar{u}(x)=\left\{ \begin{array}{l l} Du(x', x_n)&\quad x\in B^+\\ D_{x'}u(x', -x_n)&\quad x\in B^-\\ -D_{x_n}u(x', -x_n)&\quad x\in B^-. \end{array}\right. \end{equation} Podemos demostrar de la siguiente manera. Deje $\varphi\in C_{c}^{\infty}(B)$ y supongamos por ahora que $u\in C^1(\overline{B^+\setminus\mathbb{R}^{n-1}})$ \begin{align*} \int_{B}\bar{u}\varphi_{x_n}\mathrm{d}x &=\int_{B^{+}}\bar{u}\varphi_{x_n}\mathrm{d}x+\int_{B^-}\bar{u}\varphi_{x_n}\mathrm{d}x\\ &=\int_{B^{+}}u\varphi_{x_n}\mathrm{d}x-\int_{B^+}u(y', y_n)\varphi_{y_n}(y', -y_n)\mathrm{d}y\\ &=-\int_{\{x_n=0\}}u\varphi\mathrm{d}S_x-\int_{B^+}u_{x_n}(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x+\int_{\{y_n=0\}}u\varphi\mathrm{d}S_y-\int_{B^+}-u_{y_n}(y', y_n)\varphi(y', -y_n)\mathrm{d}y\\ &=-\int_{B^+}u_{x_n}(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x-\int_{B^+}-u_{y_n}(y', y_n)\varphi(y', -y_n)\mathrm{d}y\\ &=-\int_{B^+}u_{x_n}(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x-\int_{B^-}-u_{x_n}(x', -x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x \end{align*} y usando la misma técnica para $i\neq n$ obtenemos para cada multi índice $\alpha$ tal que $\vert\alpha\vert=1$ \begin{equation*} \int_{B}\bar{u}D^{\alpha}\varphi\mathrm{d}x=\left\{ \begin{array}{l} -\int_{B^+}D_{x'}u(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x-\int_{B^-}D_{x'}u(x', -x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x\\ -\int_{B^+}D_{x_n}u(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x-\int_{B^-}-D_{x_n}u(x', -x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x. \end{array}\right. \end{ecuación*}

Deje $C^+\equiv B^+\setminus\{x_n=0\}$. Desde $u\in W^{1, \infty}(C^+)$ es localmente integrable en $C^+$, podemos definir su $\varepsilon$ mollification en $C_{\varepsilon}^+$ y también sabemos que: \begin{equation*} D^{\alpha}u^{\varepsilon}(x)\equiv \eta_{\varepsilon}\ast D^{\alpha}u(x)\quad x\in C_{\varepsilon}^+, \ \vert\alpha\vert\leq1. \end{ecuación*} En este sentido, definir el punto de corte de la función $\eta:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ \begin{equation*} \eta(x)\equiv\left\{ \begin{array}{l l} C\exp\left[\frac{-1}{1-\|x\|^2}\right] &\quad \|x\|<1\\ 0&\quad \|x\|\geq 1 \end{array}\right. \end{ecuación*} donde $C$ elegido es tal que $\int_{\mathbb{R}^n}\eta\mathrm{d}x=1$ y, a continuación, definimos $\eta_{\varepsilon}(x)\equiv\frac{1}{\varepsilon^n}\eta\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)$.

Definir $v_{\varepsilon}: C^{+}\rightarrow\mathbb{R}$ \begin{equation*} v_{\varepsilon}(x)\equiv\left\{ \begin{array}{l l} u^{\varepsilon}(x) &\quad x\in C_{\varepsilon}^{+}\\ 0&\quad x\in C^{+}\setminus C_{\varepsilon}^{+}. \end{array}\right. \end{ecuación*} Ahora, debido a $u^{\varepsilon}\in C^{\infty}(D)$ para cada abierto acotado conjunto $D\subset C^+$, mediante la aplicación repetida de la media del teorema del valor de los productos derivados de todos los pedidos están delimitadas en tal $D$. Por lo tanto, $D^{\alpha}u$ es Lipschitz continua en $D$ todos los $\vert\alpha\vert\leq 1$. En particular, $D^{\alpha}u$ es uniformemente continua en el abierto acotado a los subconjuntos de a $C^{+}$ todos los $\vert\alpha\vert\leq 1$. Así que podemos decir que $v^{\varepsilon}\in C^1(\overline{C_{\varepsilon}^{+}})$. Ahora para $\vert\alpha\vert=1$ pretendemos que los débiles derivados de $v_{\varepsilon}$ existe y está dada por: \begin{equation} D^{\alpha}v_{\varepsilon}(x)\equiv\left\{ \begin{array}{l l} D^{\alpha}u^{\varepsilon}(x) &\quad x\in C_{\varepsilon}^{+}\\ 0&\quad x\in C^{+}\setminus C_{\varepsilon}^{+}. \end{array}\right. \end{equation} Podemos comprobar de la siguiente manera, vamos a $\vert\alpha\vert=1$ y deje $\varphi\in C_{c}^{\infty}(C^+)$, luego \begin{align*} \int_{C^+}v_{\varepsilon}\varphi_{x_i}\mathrm{d}x &=\int_{C_{\varepsilon}^{+}}v_{\varepsilon}\varphi_{x_i}\mathrm{d}x\\ &=-\int_{C_{\varepsilon}^+}(v_{\varepsilon})_{x_i}\varphi\mathrm{d}x+0\\ &=-\int_{C_{\varepsilon}^+}u^{\varepsilon}_{x_i}\varphi\mathrm{d}x \end{align*} para $i=1, \dots, n$ donde llegamos a la conclusión de que la debilidad derivada existe. Desde $\|D^{\alpha}v_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}(C^+)}\leq\|D^{\alpha}u\|_{L^{\infty}(C^+)}\infty$ todos los $\vert\alpha\vert\leq 1$ llegamos a la conclusión de que $v_{\varepsilon}\in W^{1, \infty}(C^+)$. Además como $\varepsilon\rightarrow0$ \begin{equation*} D^{\alpha}v^{\varepsilon}\rightarrow D^{\alpha}u\quad\text{a.e. in } C^+, \ \vert\alpha\vert\leq 1. \end{ecuación*} Podemos escribir \begin{equation*} C^+\equiv\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{1/i}^{+} \end{ecuación*} y $D^{\alpha}v_{i}: C^{+}\rightarrow\mathbb{R}$ para cada una de las $\vert\alpha\vert\leq 1$ \begin{equation*} D^{\alpha}v_{i}(x)\equiv\left\{ \begin{array}{l l} D^{\alpha}v^{\frac{1}{i}}(x) &\quad x\in C_{1/i}^{+}\\ 0&\quad x\in C^+\setminus C_{1/i}^{+}. \end{array}\right. \end{ecuación*} Desde $D^{\alpha}v_i$ es medible y uniformemente acotada en casi todas partes en $C^+$ $\|D^{\alpha}v\|_{\infty}$ por cada $\vert\alpha\vert\leq 1$, podemos deducir por el teorema de convergencia dominada de que: \begin{equation*} \lim_{i\rightarrow \infty}\int_{C^+}D^{\alpha}v_i\mathrm{d}x=\int_{C^+}D^{\alpha}u\mathrm{d}x\quad \vert\alpha\vert\leq 1. \end{ecuación*} Desde $\mathcal{L}^{n}(\mathbb{R}^{n-1})=0$ podemos definir $D^{\alpha}v_i$ arbitrariamente allí y escribir \begin{equation*} \lim_{i\rightarrow \infty}\int_{B^+}D^{\alpha}v_i\mathrm{d}x=\int_{B^+}D^{\alpha}u\mathrm{d}x \quad\vert\alpha\vert\leq 1. \end{ecuación*} Ahora vamos a $\bar{u}$ ser inicialmente definidas, $\alpha=(0, \dots, 1)$$\varphi\in C_{c}^{\infty}(B)$, %sustitución de $D^{\alpha}v_i$ $D^{\alpha}u_i$ hemos \begin{align*} \int_{B}\bar{u}D^{\alpha}\varphi\mathrm{d}x &=\int_{B^{+}}\bar{u}D^{\alpha}\varphi\mathrm{d}x+\int_{B^-}\bar{u}D^{\alpha}\varphi\mathrm{d}x\\ &=\int_{B^{+}}uD^{\alpha}\varphi\mathrm{d}x-\int_{B^+}u(y', y_n)D^{\alpha}\varphi_{y_n}(y', -y_n)\mathrm{d}y\\ &=\lim_{i\rightarrow \infty}\int_{B^{+}}v_iD^{\alpha}\varphi\mathrm{d}x-\lim_{i\rightarrow \infty}\int_{B^+}v_i(y', y_n)D^{\alpha}\varphi(y', -y_n)\mathrm{d}y\\ &=-\lim_{i\rightarrow \infty}\int_{B^+}D^{\alpha}v_i(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x-\lim_{i\rightarrow \infty}\int_{B^+}-D^{\alpha}v_i(y', y_n)\varphi(y', -y_n)\mathrm{d}y\\ &=-\int_{B^+}D^{\alpha}u(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x-\int_{B^+}-D^{\alpha}u(y', y_n)\varphi(y', -y_n)\mathrm{d}y\\ &=-\int_{B^+}D^{\alpha}u(x', x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x-\int_{B^-}-D^{\alpha}u(x', -x_n)\varphi(x', x_n)\mathrm{d}x. \end{align*} Obtenemos el resultado correspondiente para cualquier otro multi-índice de $\alpha$ tal que $\vert\alpha\vert=1$. Así llegamos a la conclusión de que las débiles derivados de $\bar{u}$ es como se reivindica.

Además, tenemos que para $\vert \alpha\vert\leq 1$: \begin{equation*} \vert\vert D^{\alpha}\bar{u}\vert\vert_{L^{\infty}(B)}\leq\vert\vert D^{\alpha}\bar{u}\vert\vert_{L^{\infty}(B^+)}+\vert\vert D^{\alpha}\bar{u}\vert\vert_{L^{\infty}(B^-)}=2\vert\vert D^{\alpha}u\vert\vert_{L^{\infty}(B^+)} \end{ecuación*} y por lo tanto \begin{equation*} \vert\vert \bar{u}\vert\vert_{W^{1, \infty}(B)}\leq 2\vert\vert u\vert\vert_{W^{1, \infty}(B^+)}. \end{ecuación*} Si el límite no está enderezado nosotros puede hacerlo en el mapa de $\Phi: W\rightarrow B$ y unstraighten bajo $\Psi: B\rightarrow W$ como se define en Evans, donde $\Psi (B)=W$. Escrito $\Phi(x)=y$ $\Psi(y)=x$ definimos $u'(y)\equiv u\circ\Psi (y)$ . Entonces tenemos: \begin{equation*} \vert\vert \bar{u'}\vert\vert_{W^{1, \infty}(B)}\leq 2\vert\vert u'\vert\vert_{W^{1, \infty}(B^+)} \end{ecuación*} y realizar la conversión a coordenadas originales que hemos \begin{equation} \vert\vert \bar{u}\vert\vert_{W^{1, \infty}(W)}\leq 2\vert\vert u\vert\vert_{W^{1, \infty}(U)} \end{equation} Sabemos que $\overline{U}\subset\mathbb{R}^n$ es paracompact por lo que admite localmente finito particiones de la unidad subordinada a ningún contables de la cubierta de bloques abiertos. Cubrir el límite de $\partial U$ con la cubierta de la $\{W_x\}_{x\in\partial U}$ de tal manera que cada conjunto abierto $W_x$ es una pelota sobre $x$ y obtenemos la desigualdad como la anterior para cada una de las $W_x$. El límite es compacto, por lo que nos puede pasar a un número finito subcover $\{W_i\}_{i=1}^{N}$ y el correspondiente extensiones $\bar{u}_i$. Elija cualquier $W_0\subset\subset U$ tal que $U\subset\bigcup_{i=0}^{N} W_i$ y definen $\bar{u}_0\equiv u$$W_0$.

Deje $\{\zeta_i\}_{i=1}^{N}$ ser localmente finito suave de la partición de la unidad subordinada a la cubierta $\{W_i\}_{i=0}^{N}$. Definir $\bar{u}\equiv\sum_{i=0}^{N}\zeta_i\bar{u}_i$. A continuación, se obtiene la envolvente: \begin{align*} \vert\vert \bar{u}\vert\vert_{W^{1, \infty}(\mathbb{R}^n)}&=\left\| \sum_{i=0}^{N}\zeta_i\bar{u}_i\right\|_{W^{1, \infty}(\mathbb{R}^n)}\\ &\leq\sum_{i=0}^{N}\|\zeta_i\bar{u}_i\|_{W^{1, \infty}(W_i)}\\ &\leq\sum_{i=0}^{N}\|\bar{u}_i\|_{W^{1, \infty}(W_i)}\\ &\leq \sum_{i=0}^{N}2\|u\|_{W^{1, \infty}(U)}\\ &\leq C\|u\|_{W^{1, \infty}(U)}. \end{align*}

Además podemos organizar para el apoyo de $\bar{u}$ a que se encuentran dentro de algunos $V\supset\supset U$. Definir $Eu\equiv\bar{u}$. Entonces podemos ver que el mapa de $E: W^{1, \infty}(U)\rightarrow W^{1, \infty}(\mathbb{R}^n)$ es un operador lineal tal que

1. $Eu=u$ en casi todas partes en $U$.
2. $Eu$ tiene apoyo dentro de $V\supset\supset U$
3. $\vert\vert Eu\vert\vert_{W^{1, \infty}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|u\|_{W^{1, \infty}(U)}$ $C=2N$.