$f'(x)=f(x)$ $f(0)=0$ implica que prueba formal de la $f(x)=0$

Question

Cómo puedo demostrar eso si una función es tal que $f'(x)=f(x)$ y $f(0)=0$ luego $f(x)=0$ por cada $x$. Tengo una idea pero es demasiado largo, quiero saber si hay una forma sencilla de hacerlo. ¡Gracias! Obviamente de una manera formal.

Answer 1

Una suposición implícita es que la función está definida en algún intervalo abierto que contiene a $0$. Conjunto

$$g(x)=e^{-x}f(x)$$

y calcular la derivada:

$$g'(x)=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f(x)=0$$

así que la función $g$ es constante en el intervalo en el cual se define. Desde $g(0)=e^{-0}f(0)=0$ se puede concluir que el $g(x)=0$ todos los $x$ y por lo tanto también se $f(x)=0$ todos los $x$.

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Sin la hipótesis inicial, usted puede obtener diferentes funciones con la propiedad: definir, por ejemplo, $$f(x)=\begin{cases} 0 & \text{if %#%#%}\\ e^x & \text{if %#%#%} \end{casos}$$ A continuación, $-1<x<1$ cumple los requisitos, pero no es constante.

Answer 2

Podemos resolver la ecuación diferencial $f'(x)-f(x)=0$. Es una ecuación diferencial lineal con coeficiente constante, y sabemos cómo solucionarlo. Ajuste $f(x)=e^{\lambda x}$ obtenemos % o $\lambda e^{\lambda x} - e^{\lambda x}=0$ $\lambda - 1 =0$, que implica $\lambda = 1$. Así que nuestra solución es $f(x)=c e^x$. Sin embargo, tenemos condición $f(0)=0$, que $c e^0=0 \implies c=0$, así que nuestra solución final es $f(x)=0$.

Answer 3

Aquí es un enfoque diferente, más adecuado para los estudiantes de cálculo que no sé cómo resolver ecuaciones diferenciales sin embargo.

Es fácil demostrar por inducción que desde $f'=f$, la función $f$ debe tener derivados de todas las órdenes y $f = f' = f'' = ...$ % todo $x$y por lo tanto $f(0) = f'(0) = f''(0) = \ldots$.

Entonces, por Teorema de Taylor, ampliamos $f(x)$ en serie alrededor de 0 a

$$ f (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot 0 = 0. $$

Answer 4

A continuación voy a mostrar cómo el estándar de prueba (por ejemplo, egreg la respuesta) es un caso especial de la más general de los resultados en los teoremas de singularidad y Wronskians. Vamos a reescribir la prueba en poco más de forma general. Dado que el $\,f\,$ $\,g = e^x\,$ son soluciones de $\,y' = y\,$ deducimos

$$\begin{eqnarray}\color{#c00}{f'=f}\\ \color{#0a0}{g'=g}\end{eqnarray}\ \ \Rightarrow\ \ \left(\dfrac{f}g\right)' = \dfrac{\color{#c00}{f'}g-f\color{#0a0}{g'}}{g^2} = \dfrac{\color{#c00}fg-f\color{#0a0}g}{g^2} = 0\ \ \Rightarrow\ \dfrac{f}g = c\ \ \rm constant$$

Por lo tanto, $\ f = cg = ce^x\ $ $\ 0 = f(0) = c,\ $ $\, f = 0.\, $ Esto se generaliza. La misma prueba muestra que, suponiendo que proceda la diferenciabilidad/continuidad condiciones, si $\,f,g\,$ son soluciones de $\, y' = h y\,$ en un intervalo de $\,I\,$ cuando la Wronskian $\,W(f,g) := f'g - fg' = 0\,$ $\,I,\,$ $\,f,g\,$ son linealmente dependientes en $\,I,\,$ es decir $\,c_1 f = c_2 g \,$ $\,I\,$ para algunas constantes $\,c_i.\,$

Así pues, por una muy simple prueba, hemos de deducir un teorema de unicidad de las soluciones de los lineales de primer orden ecuaciones diferenciales de dicho tipo. Estas ideas se extienden a análogos de orden superior ecuaciones diferenciales lineales. Ver aquí para una prueba de que el segundo caso (que generaliza a la n-esima de la orden), mediante la variación de parámetros, y ven aquí para la analógicas individuales de ecuaciones de diferencia (recurrencias). Véase también el clásico resultado de abajo de Wronskians y dependencia lineal.

Teorema $\ \ $ Supongamos $\rm\:f_1,\ldots,f_n\:$ $\rm\:n-1\:$ veces derivable en el intervalo de $\rm\:I\subset \mathbb R\:$ y supongo que tiene Wronskian $\rm\: W(f_1,\ldots,f_n)\:$ fuga en todos los puntos en $\rm\:I\:.\:$ $\rm\:f_1,\ldots,f_n\:$ son linealmente dependientes en algunos subinterval de $\rm\:I\:.$

Prueba de $\ $ Ver esta respuesta.

Answer 5

Asumiendo $f$ es continua e infinitamente diferenciable:

• Si $f(x) = f'(x)$, luego: $f'(x) = f''(x)$, $f''(x) = f'''(x)$, et cetera.

• Una función que satisface esta propiedad... O más bien, se define esta propiedad: $f(x) = A\,e^x$.

• $A$ puede ser determinada mediante la evaluación de las $f$ $x=0$ tal que $A = f(0)$.

• Si $f(0) = 0$,$A = 0$, por lo $f(x) = 0$ cualquier $x$.

En resumen:

1. $f(x) = f^{\prime}(x) \rightarrow f(x) = A\,e^x$, o más generalmente, $\lambda f(x) = f^{\prime}(x) \rightarrow f(x) = A\,e^{\,\lambda x}$

2. $f(0) = 0 \rightarrow A = 0$ o, más en general, $f(k) = 0 \rightarrow A = 0$

3. $A = 0 \rightarrow f(x) = 0$