Trabajando en un conjunto de Cantor generalizado, con medida de Lebesgue y una cierta desigualdad.

Question

Vamos a considerar el intervalo de $[0,1]$ en la misma forma en que hemos construido el conjunto de Cantor, podemos utilizar la misma idea, pero en lugar de la eliminación en el paso $n$ medio abierto intervalos de longitud de $\frac{1}{3^n}$ nos quite de la longitud de la $\frac{1}{5^n}$. Llame a cada paso de esta construcción $C_n$ i.e

$C_0 = [0,1]$

$C_1= C_0-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{10},\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\right)=\left[0,\frac{2}{5}\right]\cup \left[\frac{3}{5},1\right]$

Y, a continuación, para la construcción de $C_2$ considera el punto medio de la $\left[0,\frac{2}{5}\right]$$\frac{2}{10}$ , y quitar de ese intervalo el intervalo abierto $\left(\frac{3}{20}-\frac{1}{2\cdot 5^2},\frac{3}{20}+\frac{1}{2\cdot 5^2}\right)$ , el mismo con el intervalo de $\left[\frac{7}{10},1\right]$ .

(Es el mismo que el de costumbre, el Cantor de la construcción) Entonces definimos $ C = \bigcap C_n$. Vamos a definir la función de $f_n$ como la función característica del conjunto $C_n$ , e $f$ como la función característica del conjunto $C$.

Demostrar que $$ \mathop {\sup }\limits_{m \geqslant n} \int\limits_0^1 {\left| {f_n \left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|\,\mathrm dm} \leqslant \frac{1} {3}\left( {\frac{2} {5}} \right)^n $$ y luego demostrar que bajo cualquier modificación de la función de $f$ sobre un conjunto de medida cero, no es Riemann integrable.

Estoy muy asustado de este problema, no sé cómo probar la desigualdad por favor me ayude, estoy un poco mareado . Gracias por la EDICIÓN

Answer 1

Deje $\{I_{k,j}:j=1,\ldots,2^k\}$ el conjunto de abrir intervalos estamos botando en $k$-ésimo paso de nuestra construcción. Tenga en cuenta que $m(I_{k,j})=5^{-k-1}$ todos los $k\in\mathbb{N}$$j=1,\ldots,2^k$.

Vamos $$ C_0:=[0,1]\qquad\qquad C_{k+1}:=C_k\setminus\bigcup\limits_{j=1}^{2^k}I_{k,j} $$ Ahora vamos a proceder a la prueba de la desigualdad. Definir $f_n=\chi_{C_n}$, $m\geq n$ hemos $$ \int_0^1|f_m(x)-f_n(x)|dm= \int_0^1|\chi_{C_m}(x)-\chi_{C_n}(x)|dm= \int_0^1\chi_{C_n\setminus C_m}(x)dm= m(C_n\setminus C_m)= m\left(\bigcup\limits_{k=n}^{m-1}\bigcup\limits_{j=1}^{2^k} I_{k,j}\right)= \sum\limits_{k=n}^{m-1}\sum\limits_{j=1}^{2^k}m(I_{k,j})= \sum\limits_{k=n}^{m-1}\sum\limits_{j=1}^{2^k}5^{k-1}= \sum\limits_{k=n}^{m-1}2^5^{k-1} $$ Por lo tanto $$ \sup\limits_{m\geq n}\int_0^1|f_m(x)-f_n(x)|dm= \sup\limits_{m\geq n}\sum\limits_{k=n}^{m-1}2^5^{k-1}= \sum\limits_{k=n}^\infty 2^5^{k-1}=\frac{2^n 5^{n-1}}{1-2\cdot 5^{-1}}=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n $$

Vamos a proceder a la segunda parte. Definir $$ C:=\bigcap\limits_{k=1}^\infty C_k $$ Su medida es igual a $$ m(C)= 1-m(C_0\setminus C)= 1-m\left(\bigcup\limits_{k=0}^\infty\bigcup\limits_{j=1}^{2^k}I_{k,j}\right)= 1-\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{j=0}^{2^k} m(I_{k,j})=\\ 1-\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{j=0}^{2^k} 5^{k-1}= 1-\sum\limits_{k=0}^\infty 2^k 5^{k-1}= 1-\frac{5^{-1}}{1-2/5}=\frac{2}{3} $$ Ahora tenga en cuenta que $x\in C$ fib de su representación en cinco veces el número de sistema no tienen ningún dígito $2$ en cualquier lugar. Por tanto, para un determinado$x\in C$, se pueden cambiar algunos de los dígitos de a $2$ a abandonar el conjunto $C$. Además puede cambiar de dígito con muy gran número de lugar para obtener un número fuera de $C$, pero muy cercano a $x$. Por tanto, para cada $x\in C$ y cada una de las $\varepsilon>0$ existe $\hat{x}\notin C$. Esto es equivalente a la discontinuidad de la $f$ punto $x\in C$. Por lo $f$ es discontinua en todo punto de a $C$.

Desde $m(C)>0$ por Lebesgue critirion $f\notin\mathcal{R}([0,1])$, debido a que el conjunto de discontinuidades de $f$ tiene medida positiva. Deje $\hat{f}$ ser una función equivalente a la de $f$. Suponga $\hat{f}$ es de Riemann interable, entonces es acotada. Por lo tanto la función de $\delta=\hat{f}-f$ está acotada. Desde $\hat{f}$ es equivalente a $f$, $\delta$ es distinto de cero sólo en el conjunto de medida cero. Por Lebesgue criterio $\delta\in\mathcal{R}([0,1])$. Entonces $f=\hat{f}-\delta\in$$\mathcal{R}([0,1])$ como la diferencia de dos Riemann integrable funciones. La contradicción, por lo $\hat{f}\notin\mathcal{R}([0,1])$