Ejemplos de perfecta conjuntos.

Question

Deje $0\lt a\lt 1$. Puedo conseguir ejemplos de subconjuntos de a $[0,1]$ que son perfectos conjuntos, no contiene intervalos y tiene una medida de $1-a$.

Bueno, yo sé que por la construcción del conjunto de Cantor es perfecto, no contiene intervalos. Sin embargo, se tiene una medida de $0$. Así que no es buena.

Answer 1

Desafortunadamente $\lim_{n \to \infty} (1-a/3)^n = 0$, por lo que la eliminación de la media $a/3$ no funciona. Como t.b.'s enlace muestra, hay que estar muy delicadamente quitar menor media proporciones cuanto más profundo vayas, con el fin de retener a la perfección pero con medida positiva.

Answer 2

La construcción en el enlace dado por t.b. resultados en un conjunto de Cantor con la medida $1/2$. En la etapa de $n\ge 1$ se elimina $1/4^n$ desde el medio de cada una de las $2^{n-1}$ intervalos cerrados a la izquierda de la anterior etapa, de manera que la medida de la eliminan abrir los intervalos de $$\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{4^{n+1}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{2^{2n+2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^{n+2}}=\frac12\;.$$ If $\alpha\en(0,2)$, and the construction is modified to remove the middle $\alpha/4^n$ of each closed interval at stage $n$, the total amount removed will be $\alpha/2$, and the resulting Cantor set will have measure $1-\alfa/2$. Thus, it suffices to carry out the construction with $\alpha=2a$.

Alternativamente, se puede quitar del medio a $a/3^{n+1}$ de cada intervalo cerrado en la etapa de $n$, con lo que la eliminación de un total de $$a\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{3^{n+1}}=a\;;$$ esto es lo que t.b. tenía en mente en su comentario.

Answer 3

[0,1]=[0,a] U (a,1], ahora aplican la misma idea para el intervalo [0,a] como el cantor del conjunto de la construcción.