Delimitación término de Error en la Expansión de Taylor de $\sqrt{1+x}$

Question

Estoy tratando de justificar la expansión

$$ \sqrt{1+x}= 1 + \frac{x}{2} + \sum_{n=2}^{\infty}{(-1)^n \frac{1}{2n}\frac{(1-\frac{1}{2}) \cdots ((n-1)-\frac{1}{2})}{(n-1)!}x^n} $$

para $-1&ltx\leq 1$

Tengo la expansión, pero no puedo demostrar que el término de error tiende a cero.

$$ E_n = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)(2n-1) \cdots (1)}{2^n n!}(1+\theta x)^{-\frac{2n-1}{2}}x^n $$

donde $\theta \in (0,1)$

La pregunta sugiere el uso de la Constancia Lema (si la diferencia es cero, la función es constante), pero no puedo hacer que funcionen bien. Cualquier ayuda muy apreciada.

(Aunque técnicamente esta es la tarea que yo soy el tutor así que me dio a engañar! También es muy vergonzoso que no puedo hacerlo)

Answer 1

Considerar el valor absoluto $$ a_n=\frac{1}{2n}\frac{(1-\frac{1}{2}) \cdots ((n-1)-\frac{1}{2})}{(n-1)!} $$ of the coefficient of $x^n$ in the series expansion of $\sqrt{1+x}$. Entonces $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n-\frac12}{n+1}=1\color{red}{-\frac32}\frac1n+o\left(\frac1n\right), $$ y la heurística en tales casos es que $a_n$ se comporta aproximadamente como $n^s$$s=\color{red}{-\frac32}$, ya que para cualquier $s$, $$ \frac{(n+1)^s}{n^s}=1+\frac{s}n+o\left(\frac1n\right). $$ Para continuar con la prueba de forma más rigurosa, elegir cualquier $t\lt\frac32$ y considerar la posibilidad de $b_n=n^ta_n$. Entonces $$ \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(n+1)^t}{n^t}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{t}n+o\left(\frac1n\right)\right)\cdot\left(1-\frac32\frac1n+o\left(\frac1n\right)\right), $$ por lo tanto $$ \frac{b_{n+1}}{b_n}=1+\left(t-\frac32\right)\frac1n+o\left(\frac1n\right). $$ Desde $t-\frac32\lt0$, esto implica que $(b_n)$ es en última instancia, disminuyendo, en particular, $b_n\leqslant c_t$ por cada $n$, para algunos finito $c_t$.

Finalmente, $a_n\leqslant c_tn^{-t}$ uniformemente a lo largo de $n$ por cada $t\lt\frac32$, y uno puede elegir $t\gt1$. A continuación, $\sum\limits_n n^{-t}$ converge (absolutamente) por lo tanto $\sum\limits_na_n$ converge (absolutamente) y la expansión de la serie de $\sqrt{1+x}$ converge (absolutamente) para cada $|x|\leqslant1$.