primaria de equivalencia de infinitary grupos simétricos

Question

Dos preguntas:

1. Supongamos que un y b son dos innumerables cardenales. Considere la posibilidad de los grupos simétricos con respecto al conjunto de tamaños de un y b , respectivamente (el grupo simétrico de un conjunto es el grupo de todos los bijections de set a sí mismo, en virtud de la composición). Considerar el primer orden de las teorías de estos como "puro grupos" (es decir, sólo la estructura de grupo, no hay información adicional). Son estos elementarily equivalente? (¿ la respuesta de cambiar si queremos permitir que uno de un o b a ser el contable de cardenal?)

2. Supongamos que $a_1$, $a_2$, $b_1$ y $b_2$ son innumerables los cardenales con $a_1 < a_2$$b_1 < b_2$. Considerar el grupo simétrico de un conjunto de tamaño $a_2$ y el subgrupo de los bijections que tienen el apoyo de tamaño en la mayoría de las $a_1$. Considerar la teoría pura de este grupo-subgrupo par (es decir, la teoría pura del grupo junto con una membresía de predicado para el subgrupo). Del mismo modo, para $b_1$$b_2$. Son estos dos puras teorías elementarily equivalente? ¿La respuesta de cambio en cambio, si nos fijamos en el subgrupo de los bijections que tienen el apoyo de tamaño estrictamente menor que $a_1$? ¿La respuesta de cambiar si queremos permitir que el contable cardenal? (Con el apoyo de un bijection es el conjunto de elementos que se mueven).

Por la Baer-Schreier-Ulam teorema, la única normal de los subgrupos de los grupos simétricos en conjuntos infinitos son los subgrupos que componen bijections con el apoyo de tamaño estrictamente menor que un para algunos infinito cardinal de un o de los subgrupos que componen bijections con el apoyo de tamaño menor o igual a un para algunos infinito cardenal una, más el subgrupo trivial y el finitary alternando grupo. Todos estos son también característicos de los subgrupos.

Si (2) es verdadera, esto podría dar ejemplos de diferentes características de los subgrupos del mismo grupo que se elementarily, equivalentemente, incrustado como subgrupos (es decir, no es de primer orden de la frase verdadera para un subgrupo que no es cierto para los otros).

Answer 1

Para cada ordinal $\alpha < \omega^\omega$ el grupo simétrico de a $\aleph_{\alpha}$ es de primer orden definible en la clase de todos los grupos simétricos; es decir, hay una frase en el primer fin de idioma de grupos que hay de verdadero en $Sym(A)$ fib $|A| = \aleph_\alpha$. Ver Mckenzie - En primaria tipos de grupos simétricos, Álgebra Universalis 1 (1971), 13--20.

Sela, proporciona un interesante condición necesaria y suficiente para la primaria de la equivalencia de las $Sym(\aleph_\alpha)$ $Sym(\aleph_\beta)$ - de Primer orden de la teoría de la permutación de grupos, Israel J. Math. 14 (1973), 149-162; correcciones: ibid. 15 (1973), 437-44.

Answer 2

Para la pregunta 1, debe ser cierto para un gran número de cardenal pares, por la sencilla razón de que sólo hay un continuum muchas de primer orden teorías contables idioma, pero hay más de continuum muchos incontables cardenales. Por lo tanto, en realidad, es una clase adecuada de los cardenales de servir como ejemplos positivos de su fenómeno.

La misma idea de respuestas de parte de la pregunta 2. Tenemos esencialmente un mapa a partir de pares de cardenales a la teoría correspondiente, y puesto que hay de nuevo sólo continuum muchas teorías, no debe ser una clase adecuada de los pares de los cardenales de obtener la misma teoría.

Estoy esperando que todos ellos son de primaria equivalente.

[Edit: mi expectativa es que al parecer refutado por Mckenzie y Sela.]