Cada subconjunto perfecto (en $\mathbb{R}$) tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$? (ZF)

Question

He estado leyendo "teoría de conjuntos" de T. Jech. Vi a una prueba de "Todo perfecto subconjunto (en $\mathbb{R}$) tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$". Aquí esta la prueba:

Prueba: Dado un conjunto perfecto de $P$, queremos encontrar un uno-a-uno la función $F$ $\{0,1\}^\omega$ a $P$. Deje $S$ ser un conjunto de todos secuencia finita de 0's y 1's. Por inducción sobre la longitud de $s\in S$ uno puede encontrar cerrado intervalos de $I_s$ s.t. para cada una de las $n$ y todos los $s\in S$ de la longitud de la $n$,

(i) $I_s\cap P$ es perfecto,

(ii) el diámetro de $I_s$$\le 1/n$,

(iii) $I_{s\frown 0}\subset I_s$, $I_{s\frown 1}\subset I_s$ y $I_{s\frown 0}\cap I_{s\frown 1}=\varnothing$.

(El resto es omitido.)

Pero no entiendo esta prueba. Sobre todo, no entiendo acerca de la existencia de $I_s$. Creo $I_s$ puede ser tomada sin el axioma de elección, pero no puedo encontrar a este método. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Como Jech dice, la construcción de los conjuntos de $I_s$ es por inducción sobre la longitud de $s$. Así que supongamos que ya tenemos $I_s$ durante un cierto $s\in S$ de la longitud de la $n$, y queremos encontrar un $I_{s^\frown0}$$I_{s^\frown1}$. Desde $I_s\cap P$ es perfecto, que contiene dos puntos de $a$ $b$ que no son los extremos de $I_s$. Deje $r$ ser un número positivo menor que todas de las siguientes: $1/(n+1)$, la distancia entre el$a$$b$, la distancia de $a$ a la más cerca de la final de la $I_s$, y la distancia de $b$ a la más cerca de la final de la $I_s$. Como una primera conjetura, vamos a $I_{s^\frown0}$ $I_{s^\frown1}$ ser cerrada intervalos de longitud de $r$ centrada en $a$ y a las $b$, respectivamente. Las condiciones (ii) y (iii) se cumple debido a nuestra selección de $r$. La condición (i) puede fallar, pero sólo si un extremo de $I_{s^\frown0}$ o $I_{s^\frown1}$ es aislado en $I_{s^\frown0}\cap P$ o $I_{s^\frown1}\cap P$; en ese caso, reduzca los dos intervalos ligeramente para conseguir (i); la reducción sólo ayuda (ii) y (iii).