¿Por qué los antiguos griegos le dieron tanta importancia a la construcción de polígonos regulares con $n$ lados utilizando solo regla y compás e intentaron estudiar para cuál $n$ era posible tal construcción? Hasta Gauss-Wantzel, este fue un famoso problema abierto en la geometría euclidiana.
¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre su importancia?
La línea recta y el círculo se sugieren como objetos muy básicos en el estudio de la geometría, por lo que es natural ver qué se puede hacer con una regla y un compás. Los griegos rápidamente descubrieron cómo construir polígonos regulares con $3$, $4$, $5$ y $6$ lados, por lo que nuevamente debe haber parecido natural especular sobre qué otros polígonos eran constructibles. Dudo que el problema haya comenzado siendo importante; creo que su importancia proviene de su resistencia durante siglos a ser resuelto.
Vale la pena mencionar que muchos de los grandes geómetras griegos, incluidos Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Pérgamo, utilizaron la regla de neusis sin disculpas. Con esta regla marcada, pudieron trisecar ángulos arbitrarios y, de manera equivalente, resolver ecuaciones cúbicas. Esto permitió la construcción del heptágono regular, por ejemplo.
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