Cómo acostumbrarse a la conmutativa diagramas? (el caso de los productos).

Question

He vuelto a Aluffi del libro (después de obtener los conceptos básicos de los grupos de Herstein) y llegué a la misma pared de ladrillo que me hizo poner a un lado. Mi problema es este:

Me parece que no puede acostumbrarse a conmutativa diagramas. Esto es principalmente debido al hecho de que no estoy seguro de que voy a traducir correctamente y no hay nadie para decirme cuando tengo que hacer. Me gustaría saber qué debo hacer para estar más cómodo con la lectura y la escritura de diagramas.

Y ahora, para un ejemplo específico de mí tratando de traducir un diagrama acerca de la definición de productos:

Este es mi análisis de la definición de productos:

Deje $\mathrm{C}$ ser una categoría y Deje $A, B \in Obj(\mathrm{C})$.

Deje $\mathrm{C'}$ ser una categoría obtenida a partir de a $\mathrm{C}$ como sigue:

Tomar los objetos de $C'$ a ser tuplas $f = (f_A,f_B)$ donde $f_A \in Hom_{\mathrm{C}}(F,A)$ algunos $F \in Obj(\mathrm{C})$ (e $f_B \in Hom(F,B)$)

Para cada $f,g \in \mathrm{C'}$ deje $\sigma \in Hom_{\mathrm{C'}}(f,g)$ fib $\sigma \in Hom_{\mathrm{C}}(F,G)$ (donde $F$ $G$ son los "dominios" de $f$ $g$ respectivamente) y$f \circ \sigma = g$ (Me parece que no puede formular la definición sin necesidad de que los morfismos sí tienen algún tipo de producto. lo que está sucediendo aquí exactamente? 2-categorías?).

Si $\mathrm{C'}$ tiene un objeto final $\pi = (\pi_A,\pi_B)$ se dice que el $\mathrm{C}$ tiene un producto objeto de $A \times B$ que es el "dominio" de $\pi$.

Es este un camino derecho para interpretar el univeral la propiedad del producto?

AÑADIDO: Por "dominio" de $f \in Hom_{\mathrm{C'}}(A,B)$ me refiero al objeto de $F$ $\mathrm{C}$ tal que $f_A \in Hom_{\mathrm{C}}(F,A)$$f_B \in Hom_{\mathrm{C}}(F,B)$.

Answer 1

No tengo Alufi del libro para comprobar, pero por lo que veo en este tema, se define el producto como un universal de cono. Pero especifica las nociones hasta el punto de que es ineficiente.

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Así que vamos a ir a la plena generalidad y, a continuación, aplicar en el caso de que el producto cartesiano. (No digo que es la manera más fácil de obtener productos cartesianos, pero este es el de la construcción en general sobre los diagramas de que Alufi es de mímica con sus triples y esas cosas.)

Deje $J$ ser una categoría pequeña, y $C$ cualquier categoría. Un diagrama conmutativo indexados por $J$ $C$ es un (covariante) functor $J \to C$. Para cada objeto $c$$C$, hay una constante diagrama indexados por $J$ $C$ definido por $$ j \mapsto c, \quad (j\to k) \mapsto \mathrm{id}_c .$$ Se denota por a $\Delta_{J,c}$.

A continuación, fije un diagrama de $D \colon J \to C$. A partir de la categoría de functors $[J,C]$, obtenemos la rebanada categoría $[J,C]/D$. Vamos a denotar $\mathrm{Cone}(D)$ el total de la subcategoría de $[J,C]/D$ cuyos objetos son los morfismos $D' \to D$ $[J,C]$ donde $D' = \Delta_{J,c}$ algunos $c$.

Si $\mathrm{Cone}(D)$ tiene un objeto final, (el objeto final) se dice que es el universal de cono sobre $D$ o el límite de $D$.

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Un producto cartesiano en una categoría $C$ es el límite de cualquier diagrama en $C$ indexados por la categoría discreta con dos objetos y no-identidad de flecha.

Answer 2

Lo que has dicho es esencialmente correcto (aunque debería tener $f = g \circ \sigma$ para tener $\sigma \in \text{Hom}_{C'}(f,g)$). Definido de esta manera, el producto se ve como un caso especial de un límite. Por cierto, podría ayudar a tomar los objetos de $C'$ lugar como triples $(F, f_A, f_B)$, evitando así la confusión sobre el origen de las $f_A$ visto como una flecha en $C$, o como parte de los datos de un objeto en $C'$.

Como ya se ha comentado, sin embargo, el límite de la definición puede parecer un poco complicado al principio, especialmente para este tipo de idea intuitiva como un producto. Una manera más concreta a la vista de los productos es como una representación de objeto: dado $A \in \text{Ob}(C)$, no es un functor $h_A : C \to \textbf{Set}$$X \mapsto \text{Hom}_C(X,A)$. Objetos dados $A, B$$C$, usted puede tomar el functor $h_A \times h_B$$C$$\textbf{Set}$, el envío de $X$ para el conjunto de $\text{Hom}_C(X,A) \times \text{Hom}_C(X,B)$. El producto $A \times B$, si es que existe, es el objeto de $C$ que representa este functor.

Ambos de estas definiciones encapsular la propiedad fundamental de un producto: para dar un morfismos para un producto es el mismo de los datos como dar morfismos a cada factor, o simbólicamente, $\text{Hom}_C(X, A \times B) \cong \text{Hom}_C(X,A) \times \text{Hom}_C(X,B)$. Esta propiedad es realmente lo que se utiliza en la práctica, y el hecho de que esto puede ser expresado mediante un diagrama conmutativo puede ser visto como sólo conveniente.