¿Es necesario el axioma de elección para que exista un conjunto infinito linealmente independiente en un espacio vectorial (no de dimensión finita)?

Question

Al discutir esta respuesta, noté que, si bien la afirmación:

Cualquier espacio vectorial tiene una base

es equivalente al axioma de elección, me pregunté si la afirmación de que:

Cualquier espacio vectorial tiene una base finita o un conjunto infinito de vectores linealmente independientes

era más débil que el axioma de elección. Parece más débil - parece que puedes definir inductivamente un conjunto contablemente infinito de vectores linealmente independientes sin elección completa, pero no estoy seguro si eso es posible con ZF solo, o requiere todo el Axion de elección, o es más débil pero requiere alguna forma de elección.

Answer 1

Sí. Se necesita el axioma de elección para mostrar que todo espacio vectorial que no es finitamente generado contiene un subconjunto linealmente independiente infinito.

La prueba original de consistencia debido a Lauchli (1962) fue construir un modelo en el cual hay un espacio vectorial que no es generado por ningún conjunto finito, pero cada subespacio propio es finito.

Es decir que toda colección de vectores linealmente independientes es finita.

Si se tiene el axioma de elección dependiente entonces se puede realizar la inducción que sugieres y tener un conjunto de vectores independientes contablemente infinito. Pero esto está bastante lejos del axioma de elección completo.

Si uno intenta con mucho esfuerzo, se puede lograr con solo la elección contable (que es estrictamente más débil que la elección dependiente). El argumento es el siguiente:

Sea $\cal A_n$ la colección de todos los conjuntos de linealmente independientes de tamaño $n$, dado que el espacio no es finitamente generado, $\cal A_n$ no está vacío para todo $n\neq 0$. Sea $A_n\in\cal A_n$ algún conjunto elegido. Nuevamente usando la elección contable, sea $A$ la unión de los $A_n$'s, y $A$ es contable, por lo que podemos escribirlo como $\{a_n\mid n\in\omega\}$.

Escoge $v_0=a_0$, y procede por inducción para definir $v_{n+1}$ como $a_k$ cuyo índice es el menor $k$ tal que $a_k$ no está en el span de $\{v_0,\ldots, v_n\}$. Este $a_k$ existe porque $A_{n+1}$ abarca un espacio vectorial de dimensión $n+1$ por lo que no puede ser un subconjunto de $\operatorname{span}\{v_0,\ldots,v_n\}$.

El conjunto $\{v_n\mid n\in\omega\}$ es linealmente independiente, lo cual sigue de la elección de los $v_n$'s.

Interesantemente, el ejemplo de Lauchli era de un espacio en el cual cada endomorfismo es una multiplicación escalar y como se indica arriba, esta construcción también contradecía $\mathsf{DC}$. En mi tesis de maestría mostré que se puede tener $\mathsf{DC}_\kappa$ y aún así tener un espacio vectorial que no tiene endomorfismos excepto multiplicación escalar, incluso si tiene subespacios relativamente grandes.